2025届陕西西安市长安区第一中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.docx

2025届陕西西安市长安区第一中学高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天所走的路程为（）A.96B.48C.24D.122、在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（）A.海里B.海里C.海里D.海里3、设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3B.C.D.4、若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）A.B.C.D.5、已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A.B.C.D.6、已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）A.B.2C.D.7、抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.8、我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（）A.底层塔共挂了128盏灯B.顶层塔共挂了2盏灯C.最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200D.最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍9、已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）A.54B.71C.81D.8010、今天是星期四，经过天后是星期（）A.三B.四C.五D.六二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11、已知等差数列中，，则=_________.12、已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______13、若x，y满足约束条件，则的最大值为_________14、设，满足约束条件，则的最大值是_________.15、设命题：，，则为______.16、过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.三、解答题（本题共5小题，每题12分，共60分）17、已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.18、已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.19、已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点.（1）求点和点的坐标；（2）求圆的方程.20、已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.21、已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点①求证：；②设OA，OB分别与椭圆相交于C，D两点，过点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：为定值参考答案一、单选题（本题共10小题，每题5分，共50分）1、答案：C【解析】每天所走的里程构成公比为的等比数列，设第一天走了里，利用等比数列基本量代换，直接求解.【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为的等比数列.第一天走了里，第4天走了.故选：C2、答案：A【解析】利用正弦定理可求解.【详解】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，则，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里故选：A3、答案：D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.4、答案：C【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，故与差的绝对值不小于1的概率.故选：C5、答案：C【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.6、答案：A【解析】根