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有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍
被广泛运用。该方法将求解域
划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差
分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的
函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的
代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值
解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来
划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来
考虑，可分为中心格式和逆风
格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格
式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的
组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构
网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、
一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，
后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式
的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分
原理和加权余量法，其基本求解思想是把计
算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合
适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变
量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表
达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采
用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元
方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢
用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分
为有限个互不重叠且相互连接
的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来
逼近单元中的真解，整个计算
域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计
算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟
中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹
法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不
同，有限
元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、
矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有
三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，
又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的
有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼
近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的
极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内
选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，
即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，
但也有采用三角函数或指数函数
组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数
分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉
格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还
要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何
形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作
体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形
等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采
用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二
阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶
插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建
立积分方程，根据变分原理或方程余
量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分
表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的
形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的
单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作
量比较大，
除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还
要表示节点的位置坐标，同时
还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)
确定单元基函数，根据单元中
节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值
函数作为单元基函数。有限元
方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何
形状，在选取基函数时可遵循
一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求