数学极限思想的应用论文(共2篇).pdf

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数学极限思想的应用论文（共2篇）

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第1篇:论高等数学之极限思想
极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是
近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分
析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限
的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想
几个方面进行了简要论述。
1、极限的概念
数列极限：设为一个数列，a为一常数，若，
总存在一个正整数N，使得当时，有，称a是数列的
极限。
函数极限：函数在点a的某去心邻域内有定义，
A为常数，若，总存在一个正数，使得当时，有，
称A是当x趋向于a时函数的极限。
出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，
比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无
穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以
及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极

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限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限
观念发展到无限观念的过程。
2、极限思想的价值
极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，
通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线
近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。
极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分
方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、
函数逼近论、计算数学、力学等领域。
生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第
二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的
一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越
来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，
但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。
极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的
应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极
限思想意义重大。
3、将极限思想渗透到课堂教学中
课堂上介绍一些体现极限思想的典故
哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，
日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个
无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之

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弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆
合体而无所失矣”也体现了极限思想。通过这些有趣的
小故事，让学生从中体验和感受极限思想的妙处，激
发兴趣。
讲授新知识时渗透极限思想
在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，比
如求曲线的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时
速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过极
限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体
中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐
缩小的一种极限状态，体现了一种动态的极限思想。
体现极限思想的数学概念
高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，
体现极限思想的数学概念比比皆是，下面就列举几个：
(1)函数连续的概念中用到极限式：
(2)导数的概念中有极限式：
(3)定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、
取极限得到的：
(4)无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限
区间的定积分取极限得到的：
(5)级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数
的部分和数列极限存在，即，称级数收敛。

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(6)无穷小的定义也是用极限来描述的：若有，
称为此变化过程中的无穷小。
(7)二元函数在有界闭区域D上的二重积分定义
也用到了极限，
(8)二元函数在曲线L上的第一型曲线积分也是
用极限定义的：
(9)多元函数偏导数也是用极限来定义的，
关于x的偏导数为：，关于y的偏导数类似。
4、解决问题时利用极限思想
高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法
来解决的，下面简单的举两个例子。
(1)如何求平面上曲边梯形的面