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听课随笔 第七课时小结与复习课 【学习导航】 知识网络 无限集 有限集 分类 集合的概念 空集 确定性 元素的性质 集合 互异性 列举法 无序性 集合的表示法 描述法 真子集 子集 包含关系 相等 交集 集合运算 集合与集合的关系 并集 补集 学习要求 1.掌握集合的有关基本义概念,运用集合的概念解决问题; 2.掌握集合的包含关系(子集、真子集); 3.掌握集合的运算(交、并、补); 4.再解决有关集合问题时,要注意各种思想方法(数形集结合、补集思想、分类讨论)的运用. 【课堂互动】 自学评价 1.对于集合的问题:要确定属于哪一类集合(数集,点集,或某类图形集),然后再确定处理此类问题的方法. 2.关于集合中的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简形式,然后再进行运算. 3.含参数的集合问题,多根据集合的的互异性处理,有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想. 4.集合问题多与函数、方程有关,要注意 各类知识的融会贯通. 【精典范例】 设U={1,2,3,4,5},且A∩B={2}, ={4}, ={1,5},则下列结论正确的是 () A.3∈A,3∈B B.2∈,3∈B C.3∈,3∈A D.3∈,3∈ 分析:按题意画出Venn图即可找出选择 的分支. 【解】 画出满题意足Venn图: 1 5 3 A2 4 B 由图可知:3∈A且3B,即3∈A且 3∈,∴选C. 点评: 本题可用排除法来解,若选A,则3∈ A∩B,与已知A∩B={2}矛盾,……显然这种方法没有Venn图形象直观,这也突出数形集结合的思想在集合中的运用. 追踪训练一 设U={x|0<x<10,x∈N+},若A∩B={3}, ={1,5,7}, ={9},求集合A,B. 【解】 A={1,3,5,7}, B={2,3,4,6,8}. 2.某校有A、B两项课外科技制作小组,50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的3/5,报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人,两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人,求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数. 【解】 同时报名参加A、B组的人数为21人, 两组都没有报名的人数为8人. 例2:已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0}, B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0}, (1)试求a的取值范围,使A∩BC; (2)试求a的取值范围,使 分析: U=R,A=(-2,3),B=(-,-4)∪(2,+),故A∩B=(2,3), (-,-2]∪[3,+),[-4,2], =[-4,-2], x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0, 听课随笔 ∴当a<0时,C=(3a,a), 当a=0时,C=, 当a>0时,C=(a,3a), 要使A∩BC,集合数轴知, 解得1≤a≤2; 类似地,要使必有 解得 【解】 解答过程只需要将上面的分析整理一下 即可. 点评: ①研究不等式的解集的包含关系或进行集 合的运算时,充分利用数轴的直观性,便 于分析与转化. ②注意分类讨论的思想在解题中的运用,在 分类时要满足不重复、不遗漏的原则. 追踪训练二 设A={x|x2-x-2<0},B={x||x|=y+1,y∈A}, 求: ,A∪B,A∩, ∩ 【解】 =(-,-3]∪[3,+)∪{0}; A∪B=(-3,3); A∩={0}; =(-,-3]∪[3,+). 已知A={x|-x2+3x+10≥0}, B={x|m≤x≤2m-1},若BA, 求实数m的取值范围. 【解】 实数m的取值范围:(-,3). 例3:已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}, B={x|x2+(a-1)x+a2=0},C={x|x2+2ax-2a=0}, 其中至少有一个集合不是空集,求实数a 的取值范围. 分析: 此题若从正面入手,要对七种可能情况逐 一进行讨论,相当繁琐;若考虑其反面,则 只有一种情况,即三个集合全是空集. 【解】 当三个集合全是空集时,所以对应的三个 方程都没有实数解, 即 解此不等式组,得 ∴所求实数a的取值范围为: a≤,或a≥-1. 点评: 采用“正难则反”的解题策略,具体地说, 就是将所研究的对象的全体视为全集,求 出使问题反面成立的集合,那么这个集合 的补集便为所求. 【师生互动】 学生质疑教师释疑