平面向量应用举例学案.doc

平面向量的应用举例学案
一、学考目标
1、能应用平面向量解决一些简单的平面几何问题
2、能应用平面向量解决一些简单的物理问题
重点：
用向量方法研究平面几何和一些简单的物理问题，首先需要用向量的观点看问题，合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键。
二、知识要点
1、用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量；
（2）通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
重要结论：设O为△ABC所在平面上一点，则有如下一些结论：
O为△ABC的外心
O为△ABC的重心

O为△ABC的垂心

2、平面向量在物理中的应用
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：
F

S
（1）物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量。
（2）力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的迭加也用到了向量的加法。
（3）动量mv是数乘向量。
（4）力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移S的数量积。
（5）用向量研究物理问题的方法：首先把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。

三、例题分析
例1、已知向量，，，则实数x的值为。
练习：已知向量，，∥，则实数x的值为。

例2、△ABC内有一点O，满足OA+OB+OC=0,且OA·OB=OB·OC，则△ABC一定是（）
A、钝角三角形B、直角三角形
C、等边三角形D、等腰三角形

练习：△ABC中，AB·BC>0,则△ABC一定是（）
A、钝角三角形B、直角三角形
C、锐角三角形D、等腰三角形

例3、质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态。已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为。

练习：用两条成120°角的等长的绳子挂一个灯具，已知灯具的重量10N，则每根绳子的拉力大小是多少？

例4、设△ABC是边长为1的正三角形，则=。

练习：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）
A、B、
C、D、

例5、某人在静水中游泳，速度为，
如果他径直游向对岸，水流速度为4km/h，那么他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？
他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？这时实际前进的速度大小是多少？

练习：在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进时船头的方向应该指向何处？

例6、已知向量，
求证：；
若，求的值。

练习：设，且∥，则锐角为（）
A、30°B、60°C、45°D、75°

四、巩固练习
1、已知，则的坐标是。

2、化简PM－PN＋MN所得的结果是（）。

A、MPB、NPC、0D、MN

3、若三点P（1，1），A（2，-4），B（x，-9）共线，则x的值为。

4、已知与的夹角是120°，则；
。
5、已知，且。
A

6、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，
BC，CA的中点，则（）
F
D

A、AD+BE+CF=0B、BD—CF+DF=0

C、AD+CE—CF=0D、BD—BE—FC=0
B
E
C

7、如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（）
A、s>|a|B、s<|a|C、s=|a|D、s与|a|不能比大小

8、质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态。已知F1、F2成90°角，且F1、F2的大小分别为3和4，则F3的大小为。

9、如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，若此时船的航行速度是每分钟

20m，水流的速度也是每分钟20m，那么船行进在静水中的速度大小是。

10、设向量。
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥。

五、归纳小结
平面向量在平面几何问题中的应用，平面向量在物理问题中的应用。