231平面向量基本定理与232平面向量正交分解及坐标表示.doc

§2.3.1平面向量基本定理
§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
主编：彭小武审核：罗伍生班级姓名
【学习目标】1.掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为.
复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.

（二）自主探究：（预习教材P93—P96）
探究：平面向量基本定理
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？
1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量，作，则叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是。当时，表示与同向；当时，表示与反向；当时，表示与垂直。记作：.在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

二、合作探究
学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。
1、已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，。试用为基底表示、.

2、已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.

三、交流展示
1、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），O为原点，则=________，=_______。
2、已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且，则的坐标为__________。
3、已知两向量、不共线，，，若与共线，则实数=.

4、在矩形中，与交于点，若，，则等于多少？

四、达标检测（A组必做，B组选做）
A组：1.设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）
①与②与③与④与
A.①②B.③④C.①③D.①④
2.已知向量、不共线，实数、满足，则的值等于（）
A.B.C.D.
3.若、、为平面上三点，为线段的中点，则（）
A.B.C.D.
4.已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

B组：1、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（）
Ａ．（－）Ｂ．－（－）Ｃ．－（＋）Ｄ．（＋）

2、已知点A（2，2）B（-2，2）C（4，6）D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。