一类具有非线性发生率的SI传染病模型的定性分析.pdf

第27卷第5期大学数学Vol.27,l.5
2011年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2011

一类具有非线性发生率的SI传染病模型的定性分析

杜艳可,徐瑞,段立江
(军械工程学院基础部,河北石家庄050003)

[摘要]研究一类具有非线性发生率的SI传染病模型.应用微分方程定性理论,给出了该系统极限环
的存在性、唯一性以及无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.
[关键词]传染病模型;平衡点;极限环;全局稳定性
[中图分类号]O175.13[文献标识码]A[文章编号]1672-1454(2011)05-0071-05

传染病历来是危害人类健康的大敌,借助数学模型研究传染病的传播过程和动力学行为已成为重
要的研究课题,并得到了许多好的结果[1],对传染病的防治作出了重要贡献.根据传染病动力学常用的
仓室建模思想,将总人口分为两类:易感者类(Susceptible),其数量记为S(t),表示t时刻未染病但有可
能被该类疾病传染的人数;染病者类(Infective),其数量记为I(t),表示t时刻已被感染成病人而且具
有传染力的人数.对于一些传染病,患病后难以治愈,这类传染病的传染过程用SI模型来描述.对于传
染病数学模型的研究,大部分情况下假定人口的出生率为一常数,或与当时人口数量成正比(指数出
生),未考虑环境对人口数量的制约作用.本文假设在无传染病的情况下,人口数量按Logistic增长,并
且只有易感者才能生育,染病者由于身体状况不考虑其生育率.某时刻在单位时间内被所有病人传染的
人(即新病人)数称为此疾病的发生率,描述传染病传播过程和行为的传染病模型中最重要的是对发生
率的刻画.经典的疾病传播模型中,常假定发生率是双线性型BSI或标准型BSI/N[2,3,4],其中B为每次
接触传染的概率,即传染率,N为环境中的总人口数.近年来,对带有非线性发生率的传染病模型也有
了一些研究结果[5,6,7],本文所讨论的非线性发生率为BISq[8].基于以上考虑,研究如下传染病模型

S+Iq
dS=rS1--BIS,
dtK
(1)
dI=BISq-dI,
dt
其中r为内禀增长率,K为环境容纳量,B为传染率,d为染病者的死亡率,包括自然死亡率及因病死亡
率.系统中参数r,K,B,q,d均为正值.
基于系统(1)的实际意义,我们只在区域G={(S,I)|S\0,I\0}中讨论问题.本文应用微分方
程定性理论,研究了系统(1)平衡点的稳定性,得到了极限环的存在唯一性与无病平衡点和地方病平衡
点的全局渐近稳定性的充分条件.

1平衡点分析

q
系统(1)在G内总有平衡点A1(0,0),A2(K,0).当BK-d>0时,系统(1)在G内有唯一地方病
**
平衡点A3(S,I),其中

[收稿日期]2008-12-09;[修改日期]2009-04-13
[基金项目]军械工程学院科研基金资助(YJJXM0609,JCB0803)
72大学数学第27卷

1**
*dq*rS(K-S)
S=,I=*.
BrS+dK
容易验证S*+I*<K.
q
定理1(i)A1(0,0)为系统(1)的鞍点;当BK-d<0时,A2(K,0)为系统(1)的稳定结点,当
q
BK-d>0时,A2(K,0)为系统(1)的鞍点;
q*****
(ii)当BK-d>0且S+(q-1)(K-S-I)>0时,A3(S,I)为系统(1)的稳定焦点或
q*****
结点,而当BK-d>0,S+(q-1)(K-S-I)<0时,A3(S,I)为系统(1)的不稳定焦点或
结点.
证(i)较易判断,略证.下证(ii).
**
系统(1)在平衡点A3(S,I)处的特征方程为
K2+aK+b=0,
*
r*****q-1rS*q
其中a=[S+(q-1)(K-S-I)],b=qBIS+BS>0.
KK
*****
当S+(q-1)(K-S-I)>0时,a>0,b>0,A3(S,I)为稳定的焦点或结点;当
*****
S+(q-1)(K-S-I)<0时,a<0,b>0,A3(S,I)为不稳定的焦点或结点.

2极限环的存在性

定理2当BKq-d>0且S*+(q-1)(K-S*-I*)<0时,系统(1)在G内至少存在一个极限
环.
证当BKq-d>0且S*+(q-1)(K-S*-I*)<0时,地方病平衡点
**
A3(S,I)存在且为不稳定的焦点或结点,由Bendixson环域定理,我们只需
构造外境界线.
考察直线L=S+I-K=0,
dLS+I
=dS+dI=rS1--dI=-dI<0,
dtL=0dtdtK
所以轨线与直线L=0相遇时,穿过方向如图1所示.

注意到S轴和I轴都是系统(1)的积分曲线,这样,直线L=0,S轴和I轴图1Ben