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矩阵初等变换方法在高等代数中的应用论文摘要:矩阵的初等变换是高等代数的一种非常重要的运算,它是该课程的重要组成部分,也是研究该部分的重要手段之一.它的应用主要体现在以下几点:求矩阵的秩,求向量组的极大无关组、秩,求解线性方程组,求多项式的最大公因式等方面.本文就它的具体应用展开阐述.关键词:高等代数;矩阵;初等变换;一、矩阵初等变换的理论概述线性代数当中,矩阵初等变换主要有三种形式,分别为:第一,交换矩阵两行,也就是将i,j对换,两行记为ri,rj;第二,通过某一非0的数(通常设为k)乘以矩阵中某一行所有的元素,第i行乘以k表示为ri×k;第三,如果将矩阵某一行中的所有元素都乘以某个数k,然后加到另一行的对应元素中,那么第j行乘以k加到第i行记为ri+krj.与之类似的,将上述的"行"全部改成"列",就可以得到矩阵初等变换的定义,也就是将对应的记号"r"换为"c"来表示.矩阵的初等行变换以及初等列变换均被称为矩阵的初等变换.根据以上内容可以发现,三种初等变换的方式均不会对某个方阵A中的行列式非0性质产生任何改变,因此当矩阵为方阵时,就可以通过初等变换的方式观察矩阵是否可逆,以此判断原矩阵是否具有可逆性.根据这一点可以知道,矩阵的三种初等变换均为可逆变换,并且逆变换也是同种类的初等变换之一.二、矩阵初等变换在多项式中的应用通过矩阵变换的方式求多项式f(x)、g(x)的最大公因式,主要方法为:三、矩阵初等变换在行列式中的应用所有的n阶方阵A均可以被当成是行列式|A|中的矩阵,若对方阵A施行一次初等变换,得到n阶方阵B,那么根据行列式性质就可以知道|A|和|B|最多有一个常数因子的相差量,此常数为可确定常数.根据这一原理可以得到行列式|A|,具体为:(1)通过对A进行初等变换使矩阵A成为三角形矩阵B,算出|B|,进而能够得到|A|;(2)先通过矩阵初等变换使矩阵A变为某行(列)仅存在一个元素非0,然后根据该行(列)将|A|展开,并降低高阶行列式|A|为低阶行列式,进而求解|A|.四、矩阵初等变换在矩阵中的应用设A为m×n的矩阵,经过一系列初等行变换后,A能够变为行阶梯形矩阵,如下:再进行一系列的初等列变换后可以得到矩阵A的标准形为.(一)求矩阵的秩对m×n矩阵A进行初等行变换,就可以将A转化成阶梯形矩阵,那么此阶梯形矩阵中的非0行个数就是矩阵A的秩.(二)求矩阵的标准形对于任意的m×n矩阵A都能够通过初等变换的方式得到标准形,即,其中r为矩阵的秩.(三)求可逆矩阵的逆矩阵(四)求解矩阵方程五、矩阵初等变换在线性方程组中的应用通过矩阵初等行的变换,将线性方程组AX=b的增广矩阵=转化为行阶梯形的矩阵,具体如下:六、矩阵初等变换在二次型中的应用n元二次型可以通过矩阵将其表示为可以通过矩阵初等变换将二次型XAX作为标准形,主要方法为:第一,构造矩阵,然后对A采取相同的初等行和列的变换,仅仅对E进行其中的初等列变换,将A变换为对角矩阵B的时候,E就会成为C,那么就能得到CAC=B.第二,构造矩阵,然后对A进行同类型初等行及列的转变,但仅仅对E进行其中的初等行变换,然后使A转变为对角矩阵B的同时,E就会成为C,那么就有CAC=B.七、矩阵初等变换在向量空间P中的应用(一)判断某向量是否能够由一个向量组线性表示(二)判断一个向量组能否通过另一向量组线性表示通过矩阵初等行变换,得到下列矩阵:(三)判断一个向量组是否具有线性关联设a1,a2,?,am∈p,根据以上向量,以列构造矩阵,得到a1,a2,?,am,通过矩阵初等行变换将矩阵变为:第一,如果r=m,那么a1,a2,?,am线性无关;第二,如果r综上所述,利用矩阵的初等变换解决高等代数的各种问题时,它可以将一些复杂问题简单化,抽象问题具体化等,给我们的计算带来方便.所以我们在以后的解题中只要涉及到此方面的内容,一定要优先考虑争取做到事半功倍.参考文献[1]杜伟刚,宋传宁.从高等代数中引出的问题--关于求M-P逆的几种方法[J].教育教学论坛,2015,(2):194-195.[2]邓勇.矩阵的满秩分解及其应用[J].喀什师范学院学报,2015,(6):1-3.[3]许广魁.矩阵初等变换在整除性问题中的应用[J].当代教育实践与教学研究(电子刊),2017,(4):741.[4]邓勇.一种避免除法运算的矩阵的秩的计算方法[J].长江大学学报(自然版):理工上旬刊,2014,(12):1-2,15.[5]赵怡欣,刘陆军.矩阵的初等变换应用研究[J].教育教学论坛,2017,(25):228-229.