小学奥赛之试算与枚举.doc

小学奥赛之试算与枚举有些问题，不存在或者一时找不到直接解决问题的简捷方法，可以通过试算，把满足所有条件或部分条件的情况列举出来，再进行归纳或筛选。这种方法虽然看起来有点笨拙，但是，却是锻炼思维的条理性和缜密性的一种很好的方法。例1.有一个数，除以4余3，除以5余1，除以9余4。那么，这个数最小是多少？解：先求出分别满足一个条件的数，再从中找出相同的最小数：（1）除以4余3的数有：3、7、11、14、19、23、27、31、35、……（2）除以5余1的数有：1、6、11、16、21、26、31、36、41、……（3）除以9余4的数有：4、13、22、31、40、49、58、67、……观察发现：同时满足三个条件的最小的数是31。答：这个数是31。例2.把10写成几个自然数（除了0以外）的和，一共有多少种不同的方法？为了做到既不重复也不遗漏，思考时最好按一定的规律或顺序。解：拆成的自然数的个数，按从少到多逐一考虑；拆成的自然数，按从小到大逐一考虑：拆成两个自然数的有：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5。5种；拆成三个数自然的有：10＝1＋1＋8＝1＋2＋7＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋2＋6＝2＋3＋5＝2＋4＋4＝3＋3＋4。8种；拆成四个数自然的有：10＝1＋1＋1＋7＝1＋1＋2＋6＝1＋1＋3＋5＝1＋1＋4＋4＝1＋2＋2＋5＝1＋2＋3＋4＝1＋3＋3＋3＝2＋2＋2＋4＝2＋2＋3＋3。9种；拆成五个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋6＝1＋1＋1＋2＋5＝1＋1＋1＋3＋4＝1＋1＋2＋2＋4＝1＋1＋2＋3＋3＝1＋2＋2＋2＋3＝2＋2＋2＋2＋2。7种；拆成六个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝1＋1＋1＋1＋2＋4＝1＋1＋1＋1＋3＋3＝1＋1＋1＋2＋2＋3＝1＋1＋2＋2＋2＋2。5种；拆成七个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋4＝1＋1＋1＋1＋1＋2＋3＝1＋1＋1＋1＋2＋2＋2。3种；拆成八个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋3＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＋2。2种；拆成九个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋2。1种；拆成十个数自然的有：10＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1。1种。共有5＋8＋9＋7＋5＋3＋2＋1＋1＝41种。答：一共有41种不同的方法。例3.有6块岩石标本，它们的重量分别是8.5kg、6kg、4kg、4kg、3kg、2kg。要把它们分装在3个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些。请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克？（首届华杯赛复赛试题）解：先估算一下，因为（8.5＋6＋4＋4＋3＋2）÷3≈9.17，所以要使最重的一个背包尽可能轻一些，3个包里的标本重量都应该在9.17kg。试算发现，只有一个包里装8.5kg，另外两个包里分别装6＋4＝10（kg），4＋3＋2＝9（kg）离要求最为接近，所以最重的一包至少要装10kg。答：最重的一包至少要装10kg。例4.把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？（首届华杯赛复赛试题）解：首先考虑分成哪些数，才能使乘积比较大。（1）如果分成的数中有4，可以再把4分成2和2，因为2＋2＝2×2，所以乘积不变；（2）如果分成的数中有大于4的数，比如5，可以再把5分成2和3，因为2×3＞2＋3，所以再分以后会使乘积变大，因此，分成的数中不应该有大于4的数；（3）如果分成的数中有1，因为1与任何数的乘积还等于那个数，乘积反而小于那个数，所以，分成的数中不应该有1。根据上面的分析，为了使乘积尽可能大，分成的数最好是2和3。但是，3个2的和等于6，2个3的和也等于6，而3个2的积小于2个3的积，所以，分成的数中如果有3个2，不如分成2个3。换句话说就是，分成的数中应该有尽可能多的3，最多只能有2个214＝3＋3＋3＋3＋2，所以最大的乘积是3＋3＋3＋3＋2＝162。答：这个乘积是162。[练习]1.一个数，除以3余2，除以5余3，除以8余4。这个数最小是多少？2.把7写成几个自然数的和（0除外），有多少种不同的方法？3.有3个小孩，他们年龄的和是18，年龄的积是180，这3个小孩的年龄分别是多少岁？4.把12支铅笔分给4个同学，要使每人至少分1支，并且分得的铅笔支数各不相同，有多少种分法？5.把10写成两个以上的质数之和（可以重复使用），有几种方法？6.214除以一个两位数，余数是4，满足需要的两位数有哪些？7.有糖果168颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于50颗，有哪几种分法？8.把15分成几个自然数的和，怎样分才能使这些自然数的乘积尽可能大？这个尽可能大乘积是多少？9.用1、2、3、4、5、6六个数字（每个数字只用一