函数，导数，不等式.doc

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2009届高三考前解答题冲刺训练-------函数、导数与不等式
1、设函数.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当时，不等式f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若关于x的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
解：（Ⅰ）函数的定义域为（-1,+∞）.……………1分
∵,
由，得x>0；由，得.………3分
∴f(x)的递增区间是，递减区间是（-1,0）.4分
（Ⅱ）∵由，得x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f(x)在上递减，在上递增.6分
又，,且.
∴当时，f(x)的最大值为.
故当时，不等式f(x)<m恒成立.………………8分
（Ⅲ）方程,.
记,
∵,………9分
由,得x>1或x<-1（舍去）.由,得.
∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.……10分
为使方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，
只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有
∵,a∈(2-ln2,3-2ln3]……12分
2、已知,
且.
(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；
(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为),试求的最大值；
(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
解:(Ⅰ)当时,.
因为当时,,,
且,
所以当时,,且
由于,所以,又,
故所求切线方程为,

(Ⅱ)因为,所以,则
当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时,
当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时,
③当时,因为,从而一定不成立
综上得,当且仅当时,,
故
从而当时,取得最大值为
(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立”
当时,,则当时,,则(*)可化为
,即,而当时,,
所以,从而适合题意
当时,.
当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求
当时,(*)可化为,
所以,此时只要求
(3)当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求
由⑴⑵⑶,得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是
3、已知函数
(Ⅰ)若在区间上为减函数，求的取值范围；
(Ⅱ)讨论在内的极值点的个数。
(Ⅰ)∵
∴……(2分)
∵在区间上为减函数
∴≤O在区间上恒成立…(3分)
∵是开口向上的抛物线
≤≤
∴只需即…………(5分)
≤≤
∴≤≤………(6分)

(Ⅱ)当时，

∴存在，使得
∴在区间内有且只有一个极小值点…(8分)

时

∴存在，使得
∴在区间内有且只有一个极大值点(10分)
当≤≤时，由(Ⅰ)可知在区间上为减函数
∴在区间内没有极值点．
综上可知，当时，在区间内的极值点个数为
当≤≤时，在区间内的极值点个数为(12分)
4、已知,函数.
(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的
值,如果没有，说明为什么?
(2)如果判断函数的单调性；
(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.
（1）如果为偶函数，则
恒成立，（1分）
即：（2分）
由不恒成立，得（3分）
如果为奇函数，则
恒成立，（4分）
即：（5分）
由恒成立，得（6分）
（2），
∴当时,显然在R上为增函数；（8分）
当时，，
由得得
得.（9分）
∴当时,,为减函数;（10分）
当时,,为增函数.（11分）
(3)当时，
如果，（13分）
则
∴函数有对称中心（14分）
如果（15分）
则
∴函数有对称轴.（16分）

5、设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围；
（Ⅲ）若当时（是与无关的常数），恒有，试求的最小值．
答：（1），由题意及导数的几何意义得
，（1）
，（2）……3分

又，可得，即，故……5分
由（1）得，代入，再由，得
，（3）……6分
将代入（2）得，即方程有实根．
故其判别式得，或，（4）7分
由（3），（4）得；……8分
（2）由的判别式，
知方程有两个不等实根，设为，
又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得
，…10分
当或时，，当时，，
故函数的递增区间为，由题设知，
因此，由（Ⅰ）知得的取值范围为；…12分
（3）由，即，即，
因为，则，整理得，
设，可以看作是关于的一次函数，…13分
由题意对于恒成立，
故即得或，
由题意，，
故，因此的最小值为．…15分

6、已知函数，直线与函数图象相切.
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设函数，已知函数的图象经过点，求函数的极值.
解：（Ⅰ）设切点坐标为，由……………2分
则………………4分
根据题意知：，即,所以
又，则,即
所以…………6分
（Ⅱ）显然的定义域为……7分
则……