斐波那契数列.docx

斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列(斐波那契数列)斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。目录定义通项公式与黄金分割特性定义斐波那契数列指的是这样一个数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...特别指出：0是第0项，不是第1项。这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》（LiberAbacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。通项公式递推公式斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：解得则解得：方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。则r+s=1，-rs=1。n≥3时，有。F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2）。=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3）。……=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F⑴。=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1）。（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。=(s^n-r^n)/(s-r）。r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}。方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{