二项式系数的性质及应用.doc

1.5.2二项式系数的性质及应用一、基础过关1．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝________.3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是________．4．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为________．5．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．6．(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，展开式中二项式系数最大的项为第______项．二、能力提升7．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(5,\f(1,x3))))n的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________．8．如图，在二项式系数表中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行151010519．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．10．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．11．设(1－2x)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2013的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2013的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2013|的值．三、探究与拓展12．已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．答案1．82.63.－10244.2n＋1－25.206．6、77．4628．349．解令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100，①令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100，②由①②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝eq\f(1,2)(5100－1)．10．解由题意知，Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n－2,n)＝121，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝121，∴1＋n＋eq\f(nn－1,2)＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7＝Ceq\o\al(7,15)37x7，T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8＝Ceq\o\al(8,15)38x8.11．解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2013＝(－1)2013＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2013＝32013.②与①式联立，①－②得2(a1＋a3＋…＋a2013)＝－1－32013，∴a1＋a3＋…＋a2013＝－eq\f(1＋32013,2).(3)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2013)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2013)(2x)r，∴a2k－1<0，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2013|＝a0－a1＋a2－…－a2013＝32013(令x＝－1)．12．解由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,10)·210－r·x10－2r.∴eq\b\lc\{\r