对圆和椭圆美的思考.doc

对圆和椭圆美的思考陈翠花周志鹏（河南师范大学数学与信息科学学院453007）圆和椭圆是中学数学中的两个重要概念.二者关系甚密，圆可统一为椭圆，椭圆又可由圆生成.它们有许多美的性质，是学生审美能力的“培养点”.圆和椭圆形状的事物普遍地存在于生活中，诸如落日明月很早就被人们如神赐般地崇敬；椰子、橄榄球等又都是椭圆形的.而轰动世界的“神六”成功发射更是赋予了椭圆与圆更多的内涵.但圆和椭圆孰更完美，却是一个值得深思而且颇具哲学意味的问题.对二者进行深入地剖析和思考，不仅使学生能准确地把握它们的关系，还能使学生发现更多的美学价值，从而增强审美情趣，提高审美能力.不可否认，最初人们对圆的喜爱远甚于椭圆.人们视圆为神圣的完美，他们认为上帝偏爱圆，它在创造生命时给予了我们太多的圆，甚至西方古代杰出的代表古希腊人就一直认为行星以圆形轨道运行.一句流传甚久的名言就是意大利但丁的“圆是最完美的图形”.但自开普勒发现行星运动定律，给古希腊人原始的信念以莫大的冲击，人们开始理智地审视椭圆，它的美也逐渐地被人们发觉.椭圆像是具有伟大的母性气息，它把诸如圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线囊括于胸.统一是归宿，椭圆的这种统一美正是人们对它啧啧称赞的根源.很多高中老师在讲到椭圆时还会向学生介绍，椭圆比圆更完美——星体运行轨道多为椭圆，在运行速度超过第一宇宙速度时，星体的运行轨道会变成抛物线双曲线等，而这些又都是椭圆的变异，这正体现了椭圆是宇宙韵律的美妙！但单纯拿圆和椭圆进行比美，其实并不恰当.因为圆是实在唯一的图形，而椭圆则不然，它过于笼统，不同人心中的椭圆就很难相同.事实上，过扁过圆的椭圆在视觉上都难称得上完美，只有“恰到好处”的那种椭圆才最大可能的成为人们心目中的最爱.鉴于此，我们有理由介绍两种黄金椭圆（含有黄金比的椭圆）：一种是短长轴比为黄金比的椭圆，它在视觉上呈现绝对的完美，我们称之为显性黄金椭圆；另一种是离心率为黄金比的椭圆，它蕴含着许多美妙的性质，我们称之为隐性黄金椭圆.二者关系形如孪生，可谓椭圆中的“极品”.显性黄金椭圆的短长轴比为（为黄金比，它是希腊雕刻家菲狄亚斯希腊名字的首字母，据说他是第一个在自己作品中用黄金比的人），离心率为；隐性黄金椭圆的离心率为，短长轴比为.1显性黄金椭圆美的“合情”神学家阿奎那曾说：“愉快的感觉来自恰当的比例.”这个比例就是黄金分割比.天文学家开普勒曾把它比作“钻石矿”，足见人们对这一比例的青睐.我们不妨也来感受一下这一比例的魅力.先来看一条线段.在线段上放一点，这一点放在什么地方让人看上去感觉舒服呢？也许你会选择中点，因为中点把线段分得那么地匀称.“但是当我们静心的观照这一线一点，渐渐的一种压抑挤向自己的心口，仿佛自己的周围砌起了一道道墙，再也透不过气来，……在靠近黄金分割点停了下来，那里是春天，自己的心无比的平静.”[1](22)可见，在一条线段上放一点，我们喜欢的并不是中点，而是稍偏一点的黄金分割点.再看三角形.谈到三角形，我们脑中可能立刻会闪现出正三角形，它三条边相等，处处均衡.但是当你盯看它时，你会感觉它像一盘僵局的棋，死气沉沉，毫无生机，原本看到的那种好感也失去了色彩，不由得想把它修整一番.当修整成顶角为360的等腰三角形时，就打破了正三角形那种死寂的平衡.它挺拔、俊俏，让人感觉舒坦.平心静气盯视一番，还会有种希望在心头.这种三角形是“黄金三角形”.它的腰长与底边的比就是黄金分割比.它的底角内平分线截对腰为两条线段，这两条线段的比也是黄金分割比.它有良好的再生性，比如把它的底角平分，会产生两个新的黄金三角形.联结两底角平分线与两腰的交点，联线段以上的部分又是一个黄金三角形.依此做下去，……会形成一个美丽的“黄金三角形塔”，里面有无数多个黄金三角形.正方形也不例外，你可以先想象我们家的窗户和我们经常使用的书本是正方形的感觉.再来看看长宽比为黄金比的矩形，这种矩形是黄金矩形，我们很快就能感觉到它的美，它不像正方形那样有“对峙”的紧张感，反而它有种优美的和谐.19世纪后期，德国心理学家费赫纳尔（GustavFechner）画了各种长宽比例不同的矩形给几百人去评价，约75%的人喜欢的矩形都接近黄金矩形，而喜欢正方形的仅有3%.大自然也钟爱这一美好的图形.比如：我们作一个黄金矩形，在这个黄金矩形中分出一个正方形，位于左边，右边剩下的仍是一个小的黄金矩形.在这个黄金矩形中再分出一个正方形，位于上边，下边剩下的是一个更小的黄金矩形.继续下去，我们会得到一个“黄金矩形套”，里面有无数多个黄金矩形.我们用一条光滑的连续曲线把所有正方形的顶点连接起来，得到的就是对数螺线或等角螺线.海螺、蜗牛的外形就非常近似于对数螺线.黄金矩形常常现身于艺术中诠释美.古希腊的帕德嫩神庙就含有黄金矩形（这一点在中学教材中大都有体现，比如华东师大版教材