旋转思维在几何图形中的应用.doc

旋转思维在几何图形中的应用黑龙江省海林市柴河镇中学牟振杰旋转与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转而成。在几何图形中，常常用旋转思想来解决问题，它主要应用在正多边形（等边三角形、正方形），或存在等边的图形（等腰直角三角形）。下面看几道例题：应用一、如图（1），已知等边三角形ABC，点O在△ABC内部，且OA：OB：OC=1：：。求∠AOB的度数。分析：如图（2）根据等边三角形的性质，它的三条边相等，这就决定了旋转的始边和终边，而三角形的顶点就是旋转中心，始边与终边的夹角就是旋转角，从而构造出以1、、为边的三角形。解：把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连结OO′，则△AOO′是等边三角形，AO=AO′=OO′=1，BO′=OC=，在△BOO′中，BO2＋O′O２＝Ｏ′Ｂ２，所以，∠O′OB=90°，即∠AOB=150°。变式1、如图（3），已知正方形ABCD，点O在它的内部，且OA：OB：OC=1：2：3，求∠AOB的度数。（解法见图中提示）变式2、如图（4），已知等边三角形ABC，∠OAB=10°,∠ABO=20°，∠AOC=100°。求以OA、OB、OC为边围成的三角形各内角的度数。分析：把△ABO绕点A逆时针旋转60°，连结OO′，所以△AOO′是等边三角形，OO′=OA，CO′=BO，要求以OA、OB、OC为边围成的三角形各内角的度数，只要求出以线段OO′、CO′、OC围成的三角形各内角的度数。∠COO′=∠AOC-∠AOO′=100°-60°=40°，∠OO′C=∠AO′C-∠OO′A=(180°-20°-10°)-60°=90°,∠OCO′=180°-40°-90°=50°。应用二、如图（5），等腰直角三角形ABC，点D在斜边AB上，且AD：DE：EC=1：：，求∠DBE的度数。分析：由于等腰直角三角形的两腰相等，所以顶点B是旋转中心，旋转角是90°，如图（5）的右图。解法如下：解：把△ABD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCD′，连结ED′，△ECD′是直角三角形，CD′=AD，因为AD：DE：EC=1：：，所以，CD′：D′E：EC=1：：，从而得到DE=ED′，△BED≌△BED′，∠EBD=∠EBD′=45°。变式、如图（6），已知四边形ABCD，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°。则以AC、DC、BC为边可以构成什么三角形。（方法见图中的提示，你来试一试）通过以上的旋转问题，我们知道在这些图形中，存在着共同的特点是具有等边，而等边的交点就是旋转中心，等边的夹角是旋转角，只要抓住这个特点，所遇到的问题就迎仞而解了。