【精选】高考数学试题理科全国卷.ppt

空间向量法解决立体几何问题专题提纲一.引入两个重要的空间向量2.平面的法向量在空间直角坐标系中如何求平面法向量的坐标呢?如图2设a=(x1y1z1)、b=(x2y2z2)是平面α内的两个不共线的非零向量由直线与平面垂直的判定定理知若n⊥a且n⊥b则n⊥α.换句话说若n·a=0且n·b=0则n⊥α.求平面的法向量的坐标的步骤例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中O是面AC的中心求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(xyz)则O（110）A1（002）D1（022）由=（-1-12）=（-112）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(201).二.立体几何问题的类型及解法例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ求证:CC1⊥BD证明：设abc依题意有|a|=|b|于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a平面α的法向量为n且Lα.①若a∥n即a=λn则L⊥α②若a⊥n即a·n=0则a∥α.例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1DE分别是ACCC1的中点求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1解：以D为原点DA为x轴DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-100)B(00)E(101)A1(-102)B1(02)C1(102).设平面DBC1的法向量为n=(xyz)则解之得取z=1得n=(-201)(I)=-n从而A1E⊥平面DBC1(II)而n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC1(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1平面β的法向量为n2n1n1n2n2①若n1∥n2即n1=λn2则α∥β②若n1⊥n2即n1·n2=0则α⊥β例4正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别是BB1、CD的中点求证:面AED⊥面A1FD证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz设正方体的棱长为2则E(201)A1(002)F(120)D(020)于是设平面AED的法向量为n1=(xyz)得解之得取z=2得n1=(-102)同理可得平面A1FD的法向量为n2=(201)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD2.求空间中的角例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中M是AB的中点则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz设正方体的棱长为2则M(100)C(220)B1(202)D(020)于是∴cos<>=.(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量a是直线L的方向向量则L与α所成的角θ=-<an>或θ=<an>-(下图).naa于是因此例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a高为求AC1与侧面ABB1A1所成的角解:建立如图示的直角坐标系则A(00)B(00)A1(0).C(-0)设面ABB1A1的法向量为n=(xyz)由得