函数方程不等式专题.doc

PAGE\*MERGEFORMAT-7-函数方程不等式专题高考要求:[三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法是很重要的.重难点归纳1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法:来源:(2)当,在区间上的最大值，最小值,令若,则,.若,则,.若,则,若,则,.2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r[来源:Z&xx&k.Com][来源:学#科#网Z#X#X#K](3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)3二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;[来源:Z#xx#k.Com](2)当a>0时，f(α)<f(β)|α+|<|β+|,当a<0时，f(α)<f(β)|α+|>|β+|;(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或(4)f(x)>0恒成立典型题例示范讲解例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；[来源:Zxxk.Com](2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)∵的对称轴方程是∈(－2,－)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()[来源:Z&xx&k.Com]例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围解(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得∴(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围解由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2(1)当－≤a＜1时，原方程化为x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－)2+∴a=－时，xmin=,a=时，xmax=∴≤x≤(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+)2－[来源:学|科|网]∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12综上所述,≤x≤12学生巩固练习1若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A(－∞,2B－2,2C(－2,2D(－∞,－2)2设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为()A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能3已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________4二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x－x2),则x的取值范围是_________5已知实数t满足关系式(a>0且a≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值6如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围7二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其