点击指数方程与对数方程 专题辅导 不分版本 试题.doc

点击指数方程与对数方程蒋明权指数方程与对数方程的解法是高中数学的一个重要知识点，近年来，在这方面很少单独命题，但在解一些大题目时，经常会用到这些知识。为此本文就指数方程与对数方程的常见解法进行了探讨，希望能引起读者的重视。一.取对数法【例1】方程xlgx·x2=1000的解集为_________。解：原方程变形为xlgx+2=1000，取对数得lgxlgx+2=3，即（lgx）2+2lgx-3=0，解得lgx=1或lgx=-3，于是x=10或x=。即应填。点拨：af(x)=ag(x)型方程可变形为f(x)=g(x)；af(x)=bg(x)型方程可变形为f(x)lga=g(x)lgb；af(x)=b型方程可变形为f(x)=logab。二.换元法【例2】方程的解集为_______。解：对原方程变形为，设y=，原方程可化为：y2-8y+1=0，解得y=4+或y=4-。亦即，或，于是x=2或x=-2。即应填。点拨：对于f(ax)=0型方程，只须设y=ax，原方程就变形为f(y)=0。三.整体代换法【例3】方程log3(3x-1)log3(3x-1-)=2的解集为_________。解：原方程变形为log3(3x-1)log3[]=2，即[log3(3x-1)]2-log3(3x-1)-2=0，设y=log3(3x-1)，原方程可化为：y2-y-2=0，解得y=-1或y=2，亦即log3(3x-1)=-1，或log3(3x-1)=2。于是3x=，或3x=10。解得x=log34-1或x=log310。即应填。点拨：把一个代数式当作一个整体进行换元，以达到减少运算量的目的。四.图象法【例4】方程lgx=sinx的根的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：设y1=lgx，y2=sinx，在同一坐标系作出它们的图象；这两条曲线只有3个交点，易知方程lgx=sinx的根的个数是3个。即应选C。【例5】设方程lgx=10-x的根是α，方程10x=10-x的根是β，则α+β的值是（）A.100B.10C.5D.4解：设y1=lgx，y2=10x，y3=10-x在同一坐标系作出它们的图象：于是α=，由于函数设y1=lgx与y2=10x关于直线y=x对称，因而。即应选B。点拨：利用数形结合的方法来解决代数问题，具有直观形象，生动新颖的特点，此法在高中数学中具有广泛的应用。图2五.逆用定义法【例6】已知关于x的方程2a2x-2－7ax-1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根。解：∵x=2是关于x的方程2a2x-2－7ax-1+3=0的一个根，∴2a2－7a+3=0，解得a=或a=3（1）当a=时，对原方程变形为，于是解得x=2或x=1－log23。（2）当a=3时，对原方程变形为2·32(x-1)－14·3x-1+3=0，于是3x-1=或3x-1=3，解得x=1-log32或x=2。综上所述，a的值为或3。当a=时，方程的另一根是x=1－log23；当a=3时，方程的另一根是x=1－log23。六.变换主元法【例7】设对数方程lg(ax)=2lg(x-1)，讨论当a在什么范围内取值时，该方程有解，并求出它的解。解：∵ax＞0且x＞1，∴当a＞0，x＞1时，原方程可化为ax=(x-1)2。变换主元，求出原方程有解的条件，即求当x＞1时，a=的值域。∵a==＞0（x＞1）。∴当a＞0时，原方程有解，解方程x2-(2+a)x+1=0，得。而，∴。因而当a＞0时，原方程有解为。点拨：主元与非主元是相对的，是可以互相转变的。在解题过程中，可根据需要，进行不断的调整。