广东省珠海地区高二数学竞赛试卷 新课标 人教版 试题.doc

广东省珠海地区2006年高二数学竞赛试卷时间：9：00-11：00，满分150分注意：可以使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题．一、选择题（每题6分共36分，请将正确答案的标号填入下面的表格中）题号123456答案1．如果集合，则A的真子集有（）个（A）31（B）32（C）63（D）642．如果奇函数在区间［1，4］上是增函数且最大值是5，那么在区间［-4，-1］上是（）（A）增函数且最大值为-5（B）增函数且最小值为-5（C）减函数且最大值为-5（D）减函数且最小值为-53．如果a,b,c都是实数，那么P∶ac<0,是q∶关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（）（A）必要而不充分条件（B）充要条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件4．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（）。（A）克（B）(1－0.5%)3克（C）0.925克（D）克5．方程的一个实根存在的区间是（）（参考：）（A）（B）（C）（D）6．设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，，则＝（）(A)20(B)4(C)42(D)145.二、填空题（每题6分共72分）7．已知，则_____.8.经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为______________________________.9.已知数列，，，，…则是它的第___________项.10.将函数的图象C1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C2，C2关于ｙ轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为，则函数=.11.同时抛一次两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是_______________.12.如果=4+，那么cot（）的值等于_______________.13.已知，，，…，则与最接近的正整数是_______________.14.已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于_______________.15.等边△ABC的边长为，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在平面成1200的二面角，这时A点到BC的距离是．16.有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是．17.定义在N＋上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且f(n+1)=则f(22)=．18.定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：①对任何②对任何则．三、解答题(共42分)19.（10分）已知点A，点Ｐ是圆上的动点，Ｑ为线段ＡＰ的中点，当点Ｐ在圆上运动时，求动点Ｑ的轨迹方程．20.（10分）农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？21．（10分）用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．22.（12分）三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若，求角C的大小．[参考答案]时间：2006年12月17日9：00——11：00一、选择题（每题6分共36分）1)C2)B3)B4)D5)C6)D二、填空题（每题6分共54分）7)8)9)2510)(或等价形式)11)1/1812)13)214)315)16)17)(或或或其他等价形式)18）0三．解答题（共60分）19．(10分)解:设则……（2分）即…（*）……（4分）∵在圆上，∴…（**）…（6分）将（*）代入（**）得……（7分）化简得……（9分）动点轨迹方程为：……（10分）20．（10分）解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得：，即…………………………5’而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y…………………7’所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）…………9’即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。……………………10’21．（10分）证明：在ΔABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AC的交点为G，设，，则，不共线，，……（2分）设，=（4分）∵，∴，得……（6分）（7分）（9分）∴CG与CF共线,G在CF上∴三条中线交与一点。……（10分）22．（12分）解:由=cosB，故B=600，A+C=1200。…………………..5’于是sin