巧用定义 激活思路 学法指导 不分版本 试题.doc

巧用定义激活思路张中鹏锐角三角函数是借助直角三角形，以研究边、角关系为基础。因而应用三角函数解题时，关键在于抓住边、角之间的关系。所以，只要巧用定义，就能激活学生解题的思路，使解题过程简便易行，从而达到事半功倍的效果。以下是笔者教学实践中的一些探索，供大家参考。一、在解直角三角形中妙用Rt△ABC中，∠C=90°，a=10，，求∠A。图1求∠A，就是先要知道∠A所在直角三角形中两边的数量关系。再利用三角函数的定义确定∠A。因此此题关键在于求出∠A所在直角三角形未知的一边。而未知的一边只有利用面积已知和面积公式去确定。所以此题先从三角形面积入手，根据图形由定义得：再将BC=a=10代入可求得：，再根据正切函数定义得：。最后根据特殊角的三角函数值得：∠A=60°。二、在求锐角函数值中巧用已知：锐角A的正切函数值为3：4，求∠A的其余三角函数值。图2此题用倒数关系、平方关系、商数关系也能综合求得，但比较麻烦。如果我们利用三角函数的定义，去解决问题效果大不一样。首先把∠A看作某一直角三角形ABC的一个锐角，∠C为直角。根据已知条件结合正切函数定义，把函数值转化为边之间的关系。作法是设BC边为3x，AC边为4x，根据勾股定理得AB边为5x，根据三角函数定义得：。三、在求比值中活用求圆内接正六边形和外切正六边形周长的比和面积比。解此题时，如果把周长和面积计算出来再求比值，既麻烦又没有必要。关键在于利用三角函数定义将周长的比转化为边心距的比。做法是：如图OG为圆外切正六边形的边心距，OP为圆内接正六边形的边心距。因为圆外切正六边形与圆内接正六边形相似，所以周长的比等于相似比。既圆内接正六边形的周长：圆外切正六边形的周长=OP：OG。又根据中心角的定义得∠POG=30°，所以边心距，既周长的比是。同理，根据面积的比等于相似比的平方可得：面积的比为3：4。图3四、在解综合题中巧用如图圆O1和圆O2外切于点P，O1O2的延长线交圆O2于点A，AB切圆O1于点B交圆O2于点C，BE是圆O1的直径，过点B作BF⊥O1P，垂足为F，延长BF交PE于点G，（1）求证：；（2）若，求O1O2的长。图4对于此题我们只探讨（2）小题。当然方法很多，这里只探索妙用三角函数定义解题的过程。首先利用切线的性质推出∠ABO1是直角，为应用三角函数创造条件。再根据同角的余角相等，推出∠O1BF=∠A，立即将转化为，从而将函数关系转化为边之间的关系。即。将O1F看作3份，FB看作4份，则O1B是5份。（勾3股4弦5）所以，再根据图形之间的关系和已知条件得：，于是得。同理可得：。再由图形的性质和图形之间的数量关系（R为大圆半径，r为小圆半径）得：，所以R=3r。由得：，所以由以上几例不难看出三角函数定义在解题中的巧用。有力的论证了“巧用定义，激活思路，事半功倍”的观点。在今后的教学中，我们必须让学生懂得，解答上述类似的题型时，紧扣定义、活用概念、巧用关系。只有这样，才能手执金钥匙，打开解题的窍门。