分段函数的几种常见题型及解法.doc

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,现就几种具体的题型做了一些归纳,解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.2．求分段函数的函数值例2．(2009山东卷)定义在R上的函数满足=，则的值为（B）A．B.C.1D.2练习已知函数f(x)=，则f(2013)=()(A)2010(B)2011(C)2012(D)20133．求分段函数的最值例3．求函数的最大值.【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.5．作分段函数的图像例5．函数的图像大致是（）练习（2010全国卷）已知函数，若互不相等，且，则实数的取值范围是（C）A．B．C．D．7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数的奇偶性.【解析】当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.8．判断分段函数的单调性函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0，))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．[eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(1,3)]D．(0，eq\f(2,3)]解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,3a≥a0，))即eq\f(1,3)≤a<1.答案：B练习(2013·福州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,logax，x≥1))满足对任意的实数x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，则实数a的取值范围为()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，1))[解析]据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,0<a<1，,3a－1×1＋4a≥loga1，))解得eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3).[答案]C9．解分段函数的方程例10．设函数,则满足方程的的值为【解析】若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.已知.函数和函数，则方程f(x)=g(x)r的解的个数是（B）A．4B．3C．2D．1(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－eq\f(3,2)，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－eq\f(3,4).综合(1)，(2)知a的值为－eq\f(3,4).10．解分段函数的不等式例11．设函数,若,则得取值范围是（）【解析1】首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.【解析2】因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值范围是.故选D.(2010·江苏)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围为______________．解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0))的图象如图所示：f(1－x2)>f(2x)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>2x,1－x2>0))，解得－1<x<eq\r(2)－1.分段函数的几种常见题型及解法分段