高二数学圆锥曲线统一定义苏教版知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学圆锥曲线统一定义苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线统一定义二.重点、难点：重点：理解圆锥曲线的统一定义，并能运用统一定义解题．难点：对定义的变形使用．三.知识点回顾：1、圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是一个常数e的点的轨迹．当e>1是双曲线，当e＝1为抛物线，当0＜e＜1时为椭圆．2、焦半径：圆锥曲线上的动点到焦点的距离简称为焦半径．设焦点为F（c，0），动点P（x，y）到相应准线l，（x＝）的距离为PH．分析：仅以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例说明．，当e＝1时，得PF＝x+，以下根据不同情况可以得到准线l的方程，可以计算出相应的PF值．【典型例题】例1.设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系．分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可．设AB的中点为M，A'，M'，B'分别为A，M，B在直线l上的射影．由第二定义得＝e（e为离心率）＝e，则|AB|＝|AF2|+|BF2|＝e（|AA'|+|BB'|）＝e·2|MM'|，∴EQ\F(|AB|,2)＝e|MM'|，又∵0<e<1，∴EQ\F(|AB|,2)<|MM'|．即圆心到准线的距离大于半径，∴准线与圆相离．变式1：（双曲线）设双曲线的右焦点为F2，AB为双曲线中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系．∵e>1∴EQ\F(|AB|,2)＝e|MM，|>MM′直线l与双曲线相交．变式2：（抛物线）设抛物线的焦点为F，AB为抛物线中过F的弦，试分析以AB为直径的圆和准线l的位置关系．∵e＝1∴EQ\F(|AB|,2)＝e|MM，|＝MM′直线l与抛物线相切．变式3：过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线与其相交于A、B两点，过A，B两点向准线l作垂线，垂足分别为C，D．求证：∠CFD＝90°．证明：∵AC＝AF∴∠AFC＝∠ACF∵BD＝BF∴∠BFD＝∠BDF∵AC∥BD∴∠CAF＋∠DBF＝180°∴2∠AFC＋2∠BFD＝180°∴∠AFC＋∠BFD＝90°∠CFD＝90°例2.已知椭圆＝1（a>b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点．证明：①由题意得M（－a，0）、N（a，0），设P（x0，y0）∵P在椭圆上，∴＝1，变形得x02－a2＝－EQ\F(a2,b2)y02，又∵kPM·kPN＝，∴kPM·kPN＝－EQ\F(b2,a2)．证明：②由题意可设M（m，n）、N（－m，－n），P（x0，y0）∵M、P在椭圆上，∴EQ\F(m2,a2)+EQ\F(n2,b2)＝1，＝1，变形得y02＝b2（1－），n2＝（1－EQ\F(m2,a2)），y02－n2＝，∴kPM·kPN＝．变式：已知双曲线EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)＝1（a>0，b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点．方法同上可得在双曲线的结论为kPM·kPN＝EQ\F(b2,a2)例3.F1，F2是双曲线的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的一点，求：（1）PM+PF2的最小值；（2）PM+PF2的最小值．分析：（1）PM+PF2与双曲线第一定义有质的区别，是否可设法转化为“差”呢？（2）关键在于处理PF2的系数，于是联想到，可用第二定义转化．解：（1）过点P作准线l的垂线，垂足为H，PM+PF2≥MF1－PF1＋PF2＝8．（2）∵∴PH＝PF2PM+PF2＝PM+＝PM+PH≥（其中|PH|为P到右准线l的距离）．变1、若点P在双曲线的外部，如何求解？变2、若将双曲线变为椭圆，又如何求解？如F1，F2是椭圆的左、右焦点，M（2，2）为椭圆内部的一点，P为椭圆上的一点，求：（1）PM+PF2的最小值；（2）PM+2PF2的最小值．（1）分析：如图1，PF2＝2a－PF1＝8－PF1，∴PM+PF2＝8+PM－PF1．图1当P，M，F1如图2所示三点共线时，有最小值．图2变：求PM+PF2的最大值？（2）2PF2转化为到右准线的距离．【模拟试题】（满分100分，时间60分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、椭圆2x2+3y2＝6的焦距是（）A.2B.2（－）C.2D.2（+）2、方程4x2+Ry2＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是（）A.R>0B.0<R<2C.0<R<4D.2<R<43、已知点M在椭圆上，椭圆