【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章 函数的表示法讲解与例题 北师大版必修1.doc

2.2函数的表示法1．函数的表示法函数的表示法概念优点缺点列表法用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法不必通过计算就可以知道两个变量之间的对应关系，比较直观只能表示有限个元素间的函数关系图像法用图像把两个变量之间的函数关系表示出来的方法，称为图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差很大解析法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法利用解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质一些实际问题很难找到它的解析式【例1－1】下列四个图像中，是函数图像的是()．A．(1)B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(3)D．(3)(4)解析：在图像(2)中，对于定义域中的某些x存在两个y值和它对应，故(2)不是函数图像．答案：B解技巧如何检验一个图像是否是一个函数的图像？方法1：看对于定义域中的任何一个自变量x，是否对应唯一的函数值y，若是，则此图像是一个函数的图像；若不是，则此图像不是一个函数的图像．方法2：在定义域表示的范围内，作垂直于x轴的直线，若此时直线与图像有唯一交点，则此图像即为定义域内函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则这个图像必定不是函数的图像．【例1－2】下列表格中的x与y能构成函数的是()．A．x非负数非正数y1－1B．x奇数0偶数y10±1C．x有理数无理数y1－1D．x自然数整数有理数y10－1解析：选项A，当x＝0时，y＝±1；选项B，当x是偶数时，y＝±1；选项C，任意一个x，都有唯一的y与之对应，故C项正确；选项D，当x＝1时，y＝1或0或－1.答案：C解技巧如何判断两个变量是否构成函数判断一个表格中的两个变量能否构成函数关系的方法：一看表格中两个变量组成的集合是否都是数集，二看对于其中一个变量的每一个取值是否都有唯一的另一个变量值和它对应．【例1－3】已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，且f(－2)＝10，则f(2)＝()．A．－14B．－12C．－10D．10解析：当一个函数的解析式确定时，通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值．此题中函数f(x)含有两个参数a，b，由条件f(－2)＝10可得－8a－2b－2＝10，即8a＋2b＝－12，而f(2)＝8a＋2b－2，所以利用整体代入思想就可求出f(2)＝－12－2＝－14.答案：A2．分段函数(1)分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．谈重点分段函数的理解1．分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．2．分段函数的标准形式是写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏.3．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1＋x)的定义域的求法不相同，如函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<x<1，,x，x≥1))的定义域为{x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}＝{x|x＞0}．分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．4．分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．5．求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．(2)分段函数图像的画法画分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……))(D1，D2，…是非空集合且两两交集都是空集)的图像的步骤是：①画函数y＝f1(x)的图像，再取其在集合D1上的图像，其他部分删去不要；②画函数y＝f2(x)的图像，再取其在集合D2上的图像，其他部分删去不要；③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．例如：画函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x≤0，,－x，x>0))的图像的步骤是：第一，画二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；第二，画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；第三，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像(如图所示)．画分段函数的图像时，要注意每一段上端点的取舍，属于这一段的端点用实心点表示，不属于这一段的端点用空心点表示．本题中，当x＝0时，(x＋1)2≠－x，故左边一段函数图像的右端点为实心点，右边一段函数图像的左端点为空心点．【例