高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做8 圆锥曲线：定点、定值问题 文-人教版高三全册数学试题.docx

大题精做8圆锥曲线：定点、定值问题[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可知，，，则，直线的方程为，即，所以，解得，，又，所以椭圆的标准方程为．（2）因为直线与圆相切，所以，即．设，，联立，得，所以，，，所以．又，所以．因为，同理．所以，所以的周长是，则的周长为定值．1．[2019·安庆期末]已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，求证：为定值．2．[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．3．[2019·周口期末]已知过原点的两条互相垂直的直线与抛物线相交于不同于原点的两点，，且轴，的面积为16．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点，，为抛物线上不同的三点，若，试问：直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，可得，，故椭圆方程为．（2）当直线的斜率不为0时，设直线交椭圆于，，由，可得，，，，，，化简得，当直线斜率为0时，，，，即证为定值，且为．2．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，，，∴，∴，∴，所以椭圆的标准方程为．（2）①直线斜率存在，设直线，，，联立方程，消去得，，，，又，由，得，即，∴，∴，∴．解得，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点．②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线，，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点，综上所述，直线恒过定点．3．【答案】（1）；（2）过定点．【解析】（1）不妨设点在第一象限，由题意知，直线，的倾斜角分别为，，则直线，的方程分别为，．代入抛物线方程得，的坐标分别为，，∴．解得，故抛物线的标准方程为．（2）由（1）可得点．由题意可设直线的方程为．联立，得．则．∴，．同理可得，．∴直线的方程为，即．∴．故直线过定点．