高三数学第一轮复习：函数（四）（理）人教实验A版（理）知识精讲.doc

用心爱心专心高三数学第一轮复习：函数（四）（理）人教实验A版（理）【本讲教育信息】一.教学内容：函数（四）二.重点、难点1.一次函数（）2.二次函数（）3.三次函数（）4.正比例函数（）5.反比例函数（）6.指数函数（且）7.对数函数（且）8.幂函数9.（）10.（）11.【典型例题】[例1]已知二次函数和一次函数，其中满足，（）。（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。（1）证明：由消去y得∴，即两函数的图象交于不同的两点（2）解：设方程的两根为和，则，∵∴，解得∵的对称轴方程是时，为减函数∴，故[例2]已知关于x的二次方程（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。解：（1）条件说明抛物线与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得∴（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组（这里是因为对称轴应在区间（0，1）内通过）[例3]已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。（1）证明：点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。（1）证明：设点A、B的横坐标分别为由题意知：，则A、B纵坐标分别为因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为（）（）由于所以OC的斜率：，OD的斜率：由此可知：，即O、C、D在同一条直线上（2）解：由BC平行于x轴知：即，代入得由于知，∴，又，∴，则点A的坐标为（）[例4]设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意，都有，且。（1）求；（2）证明是周期函数；（3）记，求。（1）解：因为对，都有所以，又因为又∴，（2）证明：依题意设关于直线x=1对称，故，即又由是偶函数知，∴将上式中以代换得，这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期。（3）解：由（1）知∵…………∴又∵的一个周期是2，∴∴，因此[例5]已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。（1）解：当时，∵在区间上为增函数，∴在区间上的最小值为（2）解法一：在区间上，恒成立恒成立设递增∴当时，，当且仅当时，函数恒成立，故[例6]已知奇函数是定义在（－3，3）上的减函数，且满足不等式，设不等式解集为A，B=，求函数的最大值。解：由得且，故又∵是奇函数，∴，又在（－3，3）上是减函数∴，即，解得或综上得，即，∴=又知在B上为减函数∴[例7]（1）已知函数满足（其中），求的表达式。（2）已知二次函数满足，求的表达式。解：（1）令，则因此∴（2）由，，得并且不能同时等于1或所以所求函数为：或或或或或[例8]设为定义在R上的偶函数，当时，的图象是经过点（-2，0），斜率为1的射线，又在的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数的表达式，并在图中作出其图象。解：（1）当时，设，∵射线过点（-2，0），∴，即∴（2）当时，设∵抛物线过点（-1，1），∴，即∴（3）当时，综上可知：[例9]设是在上以4为周期的函数，且是偶函数，在区间[2，4]上时，，求当时的解析式。若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在的图象上，求这个矩形面积的最大值。解：（1）设，则∵是偶函数∴又因为4是的周期∴（2）由（1）可知时，设A、B坐标分别为，则，，令∴当且仅当，即时取等号∴，即∴[例10]已知函数是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数，又知在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为。（1）证明：；（2）试求的解析式；（3）试求在[4，9]上的解析式。（1）证明：∵是以5为周期的周期函数∴又是奇函数，（2）解：当时，由题意，可设由，得解得∴（3）解：∵是奇函数∴∴又是一次函数∴可设∵∴∴当时，当时，当时，∴当时，1∴[例11]已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围。解：（1）依题意对一切恒成立，当时，其充要条件是，即∴或又时，满足题意，时不合题意，故或为所求。（2）依题意只要能取到上的任何值，则的值域为R，故有，解得，又当即时，符合题意而时不合题意，∴为所求[例12]已知函数是奇函数，当时，有最小值2，其中且，（1）试求函数的解析式；（2）问函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解：（1）∵是奇函数∴，即∴∵∴当且仅当时等号成立，于是∴由得即∴，解得又∴∴∴（2）设存在一点在的图象上，并且关于（1，0）的对称点也在图象上，则消去得，∴图象上存