高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲 变化率与导数、导数的计算知能训练轻松闯关 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

第11讲变化率与导数、导数的计算1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：选B.因为y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以y′|x＝1＝2cos1－sin1.2．(2016·赣州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.eq\f(1,2)D．2解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝eq\f(1,2).3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2016)＝()A．1B．2C.eq\f(1,2016)D.eq\f(2017,2016)解析：选D.令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2016)＝eq\f(1,2016)＋1＝eq\f(2017,2016).4．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．2B．－2C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)解析：选D.由已知条件f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，知f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq\f(1,x)，令x＝2，则f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋eq\f(1,2)，即2f′(2)＝－eq\f(9,2)，所以f′(2)＝－eq\f(9,4).5.已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．6．(2016·大连高三联考)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(3π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))解析：选B.因为直线m的斜率为－eq\f(1,2)，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cosa且y′|x＝a＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq\f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，当k＝0时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故选B.7．函数y＝eq\f(sinx,x)的导数为________．解析：y′＝eq\f(（sinx）′x－sinx·x′,x2)＝eq\f(xcosx－sinx,x2).答案：eq\f(xcosx－sinx,x2)8．(2015·高考陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,e)))，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－eq\f(1,e).答案：y＝－eq\f(1,e)9．(2016·郑州第二次质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．解析：由图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3).又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(