高三数学函数（二）（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

用心爱心专心高三数学函数（二）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：函数（二）二.重点、难点：1.奇偶性（1）定义域关于原点对称（2）2.单调性（1）定义：函数定义域为A，区间，若对任意且①总有则称在M上单调递增②总有则称在M上单调递减（2）复合函数单调性③求单调区间的方法定义法、图形法、导数法、复合函数法3.周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期。（2）对于一个周期函数来讲，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。【典型例题】[例1]判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），对称∴奇函数（3），对称∴既奇又偶（4）无意义∴非奇非偶（5）且，对称∴为偶函数[例2]（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）∴时，奇函数（2）∴∴∴[例3]求下列函数的增区间（1）（2）（3）答案：（1），∴（2）作图∴（3）令∴[例4]（1）若在区间，求取值范围。（2）若在（）上，求的取值范围。答案：（1）①成立②，∴（2）解集为A∴∴[例5]求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令∴∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3）∴T=4（4）∴T=8[例6]，偶函数，奇函数，则。答案：奇偶∴∴∴奇∴[例7]（1）设，其中是常数，，已知=2007，求；（2）已知函数是偶函数，且当时，。求当时，的表达式。解析：（1）设，显然为奇函数，故有又，∴（2）当时，，∴∴[例8]已知定义在R上的偶函数满足对于恒成立，且，则。答案：1解析：由得∴∴是以4为周期的周期函数∴又为偶函数∴在中，令，则有，即有而∴∴[例9]已知函数的定义域为R，且满足。（1）求证：是周期函数；（2）若为奇函数，且当时，，求使的所有x。解：（1）∵∴∴是以4为周期的周期函数（2）当时，，设，则∴，即，∴故，又设1，则∴又知∴∴∴由上式知在上，仅有，由是周期函数，得的所有从下图可看出的x的值为[例10]设函数在（－∞，+∞）上满足，且在闭区间[0，7]上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。解析：本题考查函数的奇偶性、方程解的个数等基础知识，考查学生的逻辑推理能力。（1）由得函数的对称轴为x=2和x=7，从而知函数y=f（x）不是奇函数，由，从而知函数的周期为，又，而，故函数是非奇非偶函数（2）又故在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解，所以函数在[－2005，2005]上有802个解。[例11]已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。分析：利用定义判定函数的性质。解析：x需满足，由得所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意，有所以是奇函数研究在（0，1）内的单调性，任取，且设，则由，得，即在（0，1）内单调递减由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减[例12]已知函数的定义域是（0，+∞），当时，，且。（1）求；（2）证明在定义域上是增函数；（3）如果，求满足不等式的x的取值范围。解析：（1）令，得，故（2）证明：令，得，故任取，且，则由于，故，从而∴在（0，+∞）上是增函数（3）由于，而，故在中，令，得又，故所给不等式可化为即，∴，解得∴的取值范围是[例13]函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意，有；②对任意，有；③。（1）求f（0）的值；（2）求证：在R上是单调增函数；（3）若，且，求证：解析：（1）令得，∵，∴（2）证明：任取且设，则∴∵，∴∴在R上是单调增函数（3）证明：由（1）（2）知，∴∵，∴而∴∴【模拟试题】1.为R上的偶函数，则它所有零点之和为（）A.4B.2C.0D.不确定2.若方程在（0，1）内恰有一解，则的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知二次函数满足，且有两个实根，则（）A.0B.3C.6D.不能确定4.若已知，则下列说法中正确的是（）A.在（）上必有且只有一个零点B.在（）上必有正奇数个零点C.在（）上必有正偶数个零点D.在（）上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点5.函数有一零点为，则（）A.0B.10C.－3D.由m而定的其他常数6.若函数有一个零点是2，那么函数的零点是（）A.0，2B.0，C.0，－D.2，－7.有两个互为相反数的零点的函数（）A.只能是偶函数B.可能是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数8.下列函数中没有零点的是（）A.B.C.D.9.函数的零点所在的大致区间是（