2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第一节初等函数（理）.doc

PAGE-5-用心爱心专心第一讲函数第一节初等函数函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础.一般地,在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分.难度值一般控制在0.5～0.8之间.考试要求：①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质.题型一判定初等函数的性质例1求函数的值域.点拔函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题就转化为求，的值域.三次函数求值域常用导数的方法.解,则,∴,由,得或；由,，得，列表：t1002减函数有极小值增函数函数有极小值又,,∴.易错点①令，忽略了；②错误地认为最值一定在端点处取得.变式与引申1：函数的值域为_____________题型二抽象函数的性质例2已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域.点拔此题是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如，由此猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行.解设，且，则，由条件当时，又为增函数，令得，再令用得出,令得上的值域为易错点利用性质“当时，”证明单调性，易出错.变式与引申2：设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数有；②当时，；③.(1)求的值;（2）证明上是减函数.题型三函数奇偶性的判断例3判断函数的奇偶性.点拔利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证与的关系，若（或）则为偶函数；若（或）则为奇函数.当难于得出和的时候，可以考虑验证特殊值.解当时，为偶函数；当时，,∵,∴；∵,，,∴既不是奇函数也不是偶函数.易错点①用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况.②的情况难于得出与的关系，易出错.变式与引申3：设为实数，函数．讨论的奇偶性.题型四函数思想的应用例4关于x的方程有四个不同的解，求的取值范围.点拔此题有多种思考方法：法1：原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.法2：把原方程看作是关于的一元二次方程，则令，则原问题等价于有2个不等的正数解.法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：解法1有四个不同的解等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.有2个不等的正解有2个不同的负数解综上所述：.法2令则原问题等价于有2个不等的正数解..法3在同一直角坐标系内画出直线与曲线的图像，如图观图可知，图的取值必须满足,解得.易错点①作为二次方程分类，运算量大，易出错;②易忽略;③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.变式与引申4：（2011年北京卷。理）已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______本节主要考查①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想.点评（1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初等函数；③求出中间变量的范围.（2）求定义域的常用方法:根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：①分式分母不为；②偶次方根的被开放数不能小于；③对数函数的真数大于,底数大于且不等于1；④终边在轴上的角的正切没有意义；⑤没有意义；⑥复合函数的定义域，要保证内函数的值域是外函数的定义域.（3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法；求定义域开始关于原点对称是否输出“为非奇非偶函数”否输出“为非奇非偶函数”输出“为奇或偶函数”是结束⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法.（4）判断函数奇偶性的步骤：习题1—11.函数的图象().A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2.已知