2011高考数学课下练兵 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc

PAGE-6-用心爱心专心第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)函数的单调性与导数1、34、6、10函数的极值与导数2、7函数的最值与导数5、8、911生活中的优化问题12一、选择题1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D2.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A.－1B.0C.1D.±1解析：可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数.由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.又x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.答案：B3.若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.a＜1B.a≤1C.0＜a＜1D.0＜a≤1解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1，综上知a≤1.答案：B4.若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析：依题意，f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在f(x)的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C满足要求.答案：C5.函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间[0，eq\f(π,2)]上的值域为()A[]B()C[]D()解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤x≤eq\f(π,2)时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，eq\f(π,2)]上的增函数，∴f(x)的最大值为f(eq\f(π,2))＝f(x)的最小值为f(0)＝eq\f(1,2)，∴f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的值域为[]答案：A6.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，f(x)＝x＋sinx，则()A.f(1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(1)C.f(3)<f(2)<f(1)D.f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，又当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，f′(x)＝1＋cosx>0恒成立，所以f(x)在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<eq\f(π,2)，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2).答案：D二、填空题7.f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为.解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)＞0⇒x＜eq\f(2,3)或x＞2，f′(x)＜0⇒eq\f(2,3)＜x＜2，故函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))及(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，∴x＝2是极小值点.故c＝2不合题意，c＝6.答案：68.若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为.解析：f′(x)＝当x>eq\r(a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－eq\r(a)<x<eq\r(a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝eq\r(a)时，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－19.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上