2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第四节函数的综合应用1（文）.doc

PAGE-6-用心爱心专心第四节函数的综合应用(1)函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现.考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.题型一函数解析式问题例某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为().A.B.C.D.[点拨用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；解法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设,当时,,当时,,所以选B.例2设函数若方程有四个不同的实数解,若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是.点拨在同一坐标系中画出和的图象，再根据题意画出，根据图象得出的取值范围.解在坐标系中作出和的图象，可知图象如图所示，故a的取值范围是.易错点⑴对例中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式所表示的意义是解题的关键，如果讨论和的大小再得出的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错.变式与引申1：设函数若,则关于x的方程的解的个数为（）A1B2C3D4变式与引申2：设函数由方程确定，下列结论正确的是（请将你认为正确的序号都填上）（１）是上的单调递减函数；（２）对于任意，恒成立；（３）对于任意，关于的方程都有解；题型二函数的性质与图象例已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则点拨由求出的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出在一个周期[-2,2]中的单调性，再根据对称性求值.解因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设，由对称性知，．所以．易错点对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误.变式与引申3：函数的图像大致是（）A．B．C．D．变式与引申4：设函数的集合，平面上点的集合,则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是()A4B6C8D10题型三函数零点与二分法思想例4设函数（1）当时,求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.点拨（1）这是一道含绝对值的函数题，对与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数有零点转化为方程有解，用导数求出该函数的值域得出的取值范围.解（1）当时，＝∴当时，.当时，＝.∵函数在上单调递增,∴,由,得,又,解得,∴当时,,当时,.（2）函数有零点即方程有解，得.令，当时，，所以函数在上是增函数，；当时，,因为，所以函数在上是减函数，所以.所以方程有解时，即函数有零点时的取值范围是.易错点（1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决.变式与引申5：函数的零点所在的大致区间是()A.（0，1）B.C.D.变式与引申6：已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是()A．B．C．D．题型四函数与导数问题例5已知函数．(1)若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；(2)设,,求的最大值的解析式．点拨（1）求曲线的切线的斜率就是对的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率；（2）是偶函数，只须求在上最大值.解（1）∵,∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当,∴.（2）因在上为偶函数,故只求在上最大值,①当时,,在上单调递增且,∴,∴.②当时,.若当,即时,,在上单调递减,且,所以在上,所以,在上单调递增，此时.若当,即时，在上单调递减，在上单调递增.当,即时，在上单调递增，在上单调递减，故.当,即时，（ⅰ）当即时,.（ⅱ）当即时，.综上.易错点本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误.变式与引申7：已知函数，，和直线，又.（1）求的值；