极限选择题训练 辨析题训练 计算题训练 证明题训练.doc

用心爱心专心一、选择题1．下列数列极限存在的有（）A．10，10，10，…2．下列数列收敛的有（）A.0.9,0.99,0.999,0.9999,…3．下列数收敛于0有（）4．数列与的极限分别为A与B，A≠B，则数列的极限为（）A．AB．BC．A+BD．不存在A．可能收敛B．一定收敛C．可能发散D．一定发散A．充要条件B．充分条件C．必要条件D．无关条件7．下列极限存在的有（）8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）9．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）Ａ．任意函数B．无穷小量C．有界函数D无穷大量11．下列极限正确的是（）A．1B．0C．2Ａ．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．无关的条件A．连续函数B．是有界函数C．有最大值与最小值D．有最大值无最小值二、辨析题1．如果n无限增大时，数列越来越接近常数A，那么是否一定收敛于A？2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列的无穷多个点，那么是否一定收敛于A？3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？5．如果数列和都发散，问和是否一定发散？6．如果收敛、发散，问的收敛与发散情况能否确定？7．设，在求时，有人求解如下：设对等式，两边取极限，得A=1+2A，于是A=-1所以．有人指出，这个结果是错误的．因为，故不可能的．请判断此题解法是否正确．若不正确，请指出错在哪里？8．若且当时，g(x)有界，则，这一结论正确吗？为什么？三、计算题四、证明题1．根据数列极限的定义证明．2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．3．根据极限定义证明：当时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。参考答案一、选择题1．A，B，D2．A，D3．A，B，C，D4．D5．D6．D7．A8．A，D9．A，B，C，D10．B，C11．B，C，D12．D13．C14．A15．A，B，D二、辨析题1．不一定收敛于A，问题主要发生在只说越来越接近常数A，并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与A构成收敛的关系，只有当说越来越无限接近常数A时，才表明是收敛于A的．例如取，A=-1，随着n无限增加，越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于的差异，-1并不能说成是当n→∞时的极限．2．不一定收敛于A．因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域，都存在正整数，当n>N时，将全部落入A的该ε邻域内．这里只说有无穷多个中的点落入该邻域尚不能保证中当n>N后的全部的点均落入该邻域．例如则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着的无穷多个点，但却是发散点．3．有界数列不一定收敛．例如，它为有界数列，但它却是发散的．无界数列是一定发散的．因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的．4．单调数列不一定收敛．例如取，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的．摆动数列不一定是发散的．例如取是摆动数列，但它收敛于零．5．均不一定发散．例如当时，，它是收敛的，并且也是收敛的．当时，，它是收敛的．6．是一定发散的．因为如果收敛，而，则为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因发散，因此也发散，而，如果收敛，可得收敛，从而也收敛，这与已知矛盾．是收敛性不确定．例如取，则收敛．又如取，则发散．但当已知时,可知发散．否则,因由商的极限法则可得出收敛的结论,这与已知矛盾．7.错在“设”．因为的极限存在与否尚没指明时，先承认它是收敛的，这是不允许的．即对的理解应为它表示收敛且以A为极限．本题中的其实是发散的，如果按趋向方式来说，它是趋向于+∞的．即可以将+∞作为极限记号使用时，得出A=1+2A还是正确的．因为它是含+∞的一种记号形式．但这样做也推不出A=-1的结论．8．不正确．因若g(x)≡0，f(x)=x时，则得不出f(x)→0(x→∞)的结论．三、计算题6．015．∞解法与上题同．16．因为x→0时，为无穷小量，而为有界变量，所以17．0解法与上题同．25．129．2解法与上题同，先分母有理化。30．2提示：先分子有理化．32．133．原式=（分子、分母同除以）=34．0提示：用无穷小量乘有界变量法．四、证明题1．（1）要使，只须即，于是对于任意的ε>0，取，于是对任意给定的ε>0，取，只要n>N,就有，所以．（2），要使，只须．于是对任意给定的ε>0，取，只要n>N，就有，所以（3）要使只要，于是对任意给定的ε>0，取，只要n>N，就有所以（4），要使，只要，即，于是对任意给定的ε>0（ε<1），取，只要n>N，就有，所以（5）与前面（1）～（4）题证法相同．2．要使||x|-0|=|x|=|x-0|<ε，只须取δ=ε，即对任意给定的ε>0，存在δ=ε，只要0<|x