2008高考数学复习 数列专题训练.doc

用心爱心专心115号编辑2008高考数学复习数列专题训练例1、已知{}是公比为的等比数列，且成等差数列．（1）求的值；（2）设{}是以2为首项，为公差的等差数列，其前项的和为，当时，比较与的大小，并说明理由．解：（1）由题意，解得或（2）若，则，，当时，＞若，则，—当时，＞当时，=当时，＜例2、已知数列满足（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）试问是否是数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由解：（Ⅰ）当两边同除以，即成立，∴为首项，d=4为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴设是数列的第t项，则解得，t=11∈N*，∴是数列的第11项.例3、幂函数y=EQ\R(x)的图象上的点Pn(tn2,tn)（n=1,2,……）与x轴正半轴上的点Qn及原点O构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记an=|QnQn－1|（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式an;（3）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的实数∈[0,1]，总存在自然数k，当n≥k时，3Sn－3n+2≥(1－)(3an－1)恒成立，求k的最小值.解、(1)由P1(t12,t1)（t>0），…1分,得kOP1=EQ\F(1,t1)=tanEQ\F(,3)=EQ\R(3)t1=EQ\F(\R(3),3)∴P1(EQ\F(1,3),EQ\F(\R(3),3))a1=|Q1Q0|=|OP1|=EQ\F(2,3)(2)设Pn(tn2,tn)，得直线PnQn－1的方程为：y－tn=EQ\R(3)(x－tn2)可得Qn－1(tn2－EQ\F(tn,\R(3)),0)直线PnQn的方程为：y－tn=－EQ\R(3)(x－tn2)，可得Qn(tn2+EQ\F(tn,\R(3)),0)所以也有Qn－1(tn－12+EQ\F(tn－1,\R(3)),0)，得tn2－EQ\F(tn,\R(3))=tn－12+EQ\F(tn－1,\R(3))，由tn>0，得tn－tn－1=EQ\F(1,\R(3))∴tn=t1+EQ\F(1,\R(3))(n－1)=EQ\F(\R(3),3)n∴Qn(EQ\F(1,3)n(n+1),0),Qn－1(EQ\F(1,3)n(n－1),0)∴an=|QnQn－1|=EQ\F(2,3)n(3)由已知对任意实数时∈[0,1]时n2－2n+2≥(1－)(2n－1)恒成立对任意实数∈[0,1]时，(2n－1)+n2－4n+3≥0恒成立则令f()=(2n－1)+n2－4n+3，则f()是关于的一次函数.对任意实数∈[0,1]时EQ\B\LC\{(\A\AL(f(0)≥0,f(1)≥0))EQ\B\LC\{(\A\AL(n2－4n+3≥0,n2－2n+2≥0))n≥3或n≤1又∵n∈N*∴k的最小值为3。例4、已知函数，在数列中，，，其中，又是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式。（2）若，，求证：.解：（Ⅰ）由题意，而，∴，即则当时，数列是以为首项，为公比的等比数列∴∴，相加得∴（Ⅱ）∵，且，所以∴∴。故。由均值不等式，上式。例5、已知正数数列中，.若关于的方程有相等的实根.(1)求的值;（2）求证.解：(1)由题意得得得，（2）由于=======或：∵∴∴∵∴则===所以例6、设正项数列的前项和为，为非零常数．已知对任意正整数，当时，总成立．证明：数列是等比数列；(2)若正整数成等差数列，求证：≥．（1）证明：因为当时，总成立．所以当≥2时，，即，又对也适合，所以当≥2时，，故数列是等比数列．（2）若，则，，，≥；若，，，，≥，≤，≥．综上可知，当正整数成等差数列时不等式≥成立．例7、把自数按下表排列：（Ⅰ）求200在表中的位置（在第几行第几列）；（Ⅱ）试求自上至下的第m行，自左至右的第n列上的数；（Ⅲ）求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、……的通项公式和前n项和的求和公式.解：把表中的各数按下列方式分组：（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……，（Ⅰ）由于第n组含有2n－1个数，所以第n组的最后一个数是1+3+5+因为不等式的最小整数解为n=15，这就是说，200在第15组中，由于142=196，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数.所以200在表中自上至下的第4行，自左至右的第15列上；（Ⅱ）如果，则第m行上的数自左至右排成的数列是以－1为公差的等差数列；这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为是1+3+5+…+（2m－1）=m2，则自上至下的第m行，自左至右的第n列上的数为m2+；如果m<n，