高危数学试题 人教版 试题.doc

2006年高危数学试题1．已知（2x－3)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋……＋a6(x－1)6求a1＋a3＋a5＝_____．命题理由：在多项式系数上略作一点变化既能考查对系数特征、组合原理的把握又可看到学生的能力．略解：令x－1＝t则有(2t－1)6＝a0＋a1t＋a2t2＋……＋a6t6∴a1＋a3＋a5＝eq\f(1－362)＝－364．或a1＋a3＋a5＝Ceq\o(6\s\up2(1))·2·(－1)5＋Ceq\o(6\s\up2(3))·23·(－1)3＋Ceq\o(6\s\up2(5))·25·(－1)＝－364．2．（满分14分）如图在平行四边形ABCD中AB＝1BD＝eq\r(2)∠ABD＝90°将它们沿对角线BD折起折后的C变为C1且A、C1间的距离为2（如图乙所示）．（Ⅰ）求证：平面AC1D⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角B－AC1－D的大小．（Ⅲ）E为线段AC1上的一个动点当线段EC1的长为多少时？DE与平面BC1D所成的角为30°．图乙BC1DA·EBCDA图甲命题理由：该题根据新教材B版本中B组某复习题改编考察了学生简单的线面垂直、平面角、线面角既可用向量方法求解也注意到了几何方法的简单、快捷以折叠方式引入特别是线面角的探索有很强的新颖性．解法一：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形故知∠BDC1＝∠ABD＝90°即AB⊥BDC1D⊥BD∴AD＝BC1＝eq\r(3)1分DBC1A·Eyxz由C1D＝1AC1＝2可得AC12＝C1D2＋AD2∴C1D⊥AD．∴C1D⊥平面ABD2分又C1D平面AC1D故平面AC1D⊥平面ABD．3分（Ⅱ）由AB⊥BDAB⊥C1D可知AB⊥平面BC1D故可以B为原点平行于C1D的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系．4分则A(001)D(0eq\r(2)0)C1(1eq\r(2)0)eq\o\ac(BA\s\up5(→))＝(001)eq\o\ac(EC1\s\up6(→))＝(1eq\r(2)0)eq\o\ac(AD\s\up5(→))＝(0eq\r(2)－1)eq\o\ac(DC1\s\up6(→))＝(100)5分设平面ABC1的法向量为eq\o\ac(n1\s\up3(→))＝(x1y1z1)则eq\o\ac(n1\s\up3(→))·eq\o\ac(BA\s\up5(→))＝0eq\o\ac(n1\s\up3(→))·eq\o\ac(EC1\s\up6(→))＝0即eq\b\lc\{(\a\al\col(0·x1＋0·y1＋1·z1＝01·x1＋\r(2)·y1＋0·z1＝0))解得eq\b\lc\{(\a\al\col(z1＝0x1＝－\r(2)·y1))故得平面ABC1的一个法向量eq\o\ac(n1\s\up3(→))＝(－eq\r(2)10)6分设平面ADC1的法向量为eq\o\ac(n2\s\up3(→))＝(x2y2z2)则eq\o\ac(n2\s\up3(→))·eq\o\ac(DC1\s\up6(→))＝0eq\o\ac(n2\s\up3(→))·eq\o\ac(AD\s\up5(→))＝0即eq\b\lc\{(\a\al\col(1·x2＋0·y2＋0·z2＝00·x2＋\r(2)·y2－1·z2＝0))解得eq\b\lc\{(\a\al\col(x2＝0z2＝\r(2)·y2))故得平面ABC1的一个法向量eq\o\ac(n2\s\up3(→))＝(01eq\r(2))7分∵cos<eq\o\ac(n1\s\up3(→))eq\o\ac(n2\s\up3(→))>＝eq\f(eq\o\ac(n1\s\up3(→))·eq\o\ac(n2\s\up3(→))|eq\o\ac(n1\s\up3(→))|·|eq\o\ac(n2\s\up3(→))|)＝eq\f(eq\r(2)·0＋1·1＋0·eq\r(2)\r(3)·\r(3))＝eq\f(13)8分显