高二数学导数(续)苏教版知识精讲 试题.doc

高二数学导数（续）苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：导数（续）二.教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法2.通过实例了解函数的单调性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值与导数的关系。3.体会定积分的基本思想和内涵初步了解定积分的概念。三.知识要点：（一）导数在研究函数中的应用1.单调性（1）定义：一般地设函数y=f(x)在某个区间内有导数如果在这个区间内>0那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数。（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)②令f′(x)＞0解不等式得x的范围就是递增区间③令f′(x)＜0解不等式得x的范围就是递减区间2.极值点（1）极大值：一般地设函数f(x)在点x0附近有定义如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值记作y=f(x0)x0是极大值点。（2）极小值：一般地设函数f(x)在x0附近有定义如果对x0附近的所有的点都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值记作y=f(x0)x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值。注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部也可能在区间的端点。判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足“左正右负”则是的极大值点是极大值；如果在两侧满足“左负右正”则是的极小值点是极小值。（v）求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间求导数f′(x)（2）求方程f′(x)=0的根（3）用函数的导数为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间并列成表格。检查f′(x)在方程根左右的值的符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号那么f(x)在这个根处无极值。3.最值（1）函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象。图中与是极小值是极大值．函数在上的最大值是最小值是。注意：（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个而函数的极值可能不止一个也可能没有。2.利用导数求函数的最值步骤:设函数在上连续在内可导则求在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值。（二）定积分定义：一般地设函数f(x)在区间[ab]上有定义将区间[ab]等分成n个小区间每个小区间长度为△x（）在每个小区间上取一点依次为作和如果△x无限趋于0无限趋于常数S那么称S为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记为定积分的几何意义是：在区间[ab]上曲线与x轴所围图形面积的代数和（即x轴上方的面积减去x轴下方的面积）【典型例题】例1.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数哪个区间内是减函数。解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞0)时f′(x)＞0f(x)是增函数当x∈(2+∞)时f′(x)＞0f(x)是增函数令6x2－12x＜0解得0＜x＜2∴当x∈(02)时f′(x)＜0f(x)是减函数例2.证明函数f(x)=在(0+∞)上是减函数。证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1x2∈(0+∞)设x1＜x2f(x1)－f(x2)=∵x1＞0x2＞0∴x1x2＞0∵x1＜x2∴x2－x1＞0∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－x＞0∴x2＞0∴－＜0