Lebesgue测度.pdf

第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块.这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积.所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进.Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积.所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{E}为一列互不相交的i63有测度的集合时，E的测度恰好为每个集的测度之和）.ii1§1外测度一、外测度的定义记Rn中的开区间Ix(x,x,,x)axb,i1,2,,n其中ab为12niiiii有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I为区间，显然RnR1时，I即为R1上的区间.n另外还规定I(ba)为区间I的体积.iii1定义1设ERn，I是Rn中覆盖E的任一列开区间，即EI，iii1记I（可以取+），显然所有这样的构成一个有下界的数集，则它ii1的下确界称为E的Lebesgue外测度，记为m*E即m*EinfI,EI.iii1i1注定义中覆盖E的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意ERn，m*E均存在，且可以取+.二、外测度的基本性质定理外测度具有如下性质：（1）对任意ERn都有m*E0且m*0（非负性）,（2）设BARn，则m*Bm*A（单调性）,（3）设ARn，则m*(A)m*A（次可加性）,iiii1i1（4）设A,BRn，若(A,B)0，则m*(AB)m*Am*B（隔离性）.64证明（1）显然成立。下面只证（2）（3）（4）（2）因为对任意覆盖A的开区间列I,即AI，由于BAiii1所以BI，从而m*BI，m*BinfIm*A,AI.iiiii1i1i1i1(3)由外测度的定义知，对任意给定的正数，存在覆盖A的开区间列I(i)使imI(i)m*A,i1,2,mi2im1显然(I(i))A且I(i)(I(i))(m*A)m*Amimmi2iii1m1i1i1m1i1m1i1i1所以m*(A)I(i)m*A.imii1i1m1i1（4）仅在R1上证明.对任意0，存在开区间列I，使ABInnn1且Im*(AB)，nn1因为(A,B)d0,若Id,则I保留;若Id,则用分点将I分成有限nnnn个小的开区间J,J,J,使Jd(i1,2k),并且各分点再用k1个长度小于d12ki的开区k1间L,LL盖住,使得L/2n，用上述得到的J,J及L,L代替12k1i1k1k1i1I，nkk1显然JLI,iin2ni1i1把改造后的开区间列记为k，则ABIk,mnmn1m165且kIm*(AB)2.mn2nm1n1n1由于kd,k中任何k不