量子力学教程习题答案周世勋.pdf

《量子力学教程》习题解答1《量子力学教程》习题解答说明•为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。•第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章2目录•第一章绪论•第二章波函数和薛定谔方程•第三章力学量的算符表示•第四章态和力学量的表象•第五章微扰理论•第六章弹性散射•第七章自旋和全同粒子3第一章绪论301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：mTb,b2.910mC。证明：由普朗克黑体辐射公式：8h31dd，c3hekT1cc及、dd得28hc1，5hcekT1hcd令x，再由0，得.所满足的超越方程为kTdxex5ex1hc30用图解法求得x4.97，即得4.97，将数据代入求得mTb,b2.910mCmkT41.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.hh0解：7.091010m7.09Ap2mE#31.3.氦原子的动能为EkT，求T1K时氦原子的deBroglie波长。2hhh0解：12.631010m12.63Ap2mE3mkT其中m4.0031.661027kg，k1.381023JK1#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。231已知外磁场B10T，玻尔磁子B0.92310JT，求动能的量子化间隔E，并与T4K及T100K的热运动能量相比较。p21解：（1）方法1：谐振子的能量E2q2225p2q2可以化为2212E2E22E的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a2E,b，相空间面积为22EEpdqabnh,n0,1,2,所以，能量Enh,n0,1,2,方法2：一维谐振子的运动方程为q2q0，其解为qAsint速度为qAcost，动量为pqAcost，则相积分为2222TATATpdqA22cos2tdt(1cost)dtnh，n0,1,2,0202A22nhEnh，2T6v2v（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB，得RReB再由量子化条件，以,pRvR2eBR2分别表示广义坐标和相应的pdqnh,n1,2,3,广义动量，所以相积分为22npdpd2Rv2eBRnh，n1,2,，由此得半径为R，。0eB211eBR1n电子的动能为222EveBnBB222eB23动能间隔为EBB910J热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为EkT，所以当时，E4.521023J；当T4K21时，E1.3810J。T100K71.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？2ch解：转化条件为hec，其中e为电子的静止质量，而，所以，即有ech6.62610340（电子的康普顿波长）。maxc3180.024Aec9.1103108第二章波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r，t)(r)f(t)iEt(r)eiJ(**)2miiiiiEtEtEtEt[(r)e（(r)e）**(r)e（(r)e）]2mi[(r)*(r)*(r)(r)]2m可见J与t无关。92.2由下列定态波函数计算几率流密度：11(1)eikr(2)eikr1r2r从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：J1和J2只有r分量11在球坐标中ree0rrrsini(1)J(**)12m1111i1111[eikr(eikr)eikr(eikr)]r2mrrrrrr0i111111[(ik)(ik)]r2mrr2rrr2r0kkrrmr20mr3J1与r同向。表示向外传播的球面波。10i(2)J(**)