13-信号的功率谱密度.pdf

第4章随机信号与线性系统第4章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室[e-mail]-1-第4章随机信号与线性系统随机过程和随机信号的概念随机过程随机信号当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。-2-第4章随机信号与线性系统4.1随机信号的功率谱密度-3-第4章随机信号与线性系统确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier变换可以反映其频谱特性。¥s(t)=åacos2pntnn=0¥sˆ(f)=òs(t)ej2pftdt-?-4-第4章随机信号与线性系统Fourier分解的物理意义各种频率成份的振动s(t)分解-5-第4章随机信号与线性系统频谱与光谱进行对比红白光束橙黄绿光谱青蓝三棱镜紫s(t)分解频谱-6-第4章随机信号与线性系统如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度-7-第4章随机信号与线性系统若X(t)是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[-T,T]上的平均功率为1{}P=òTEX(t)2dtT2T-T-8-第4章随机信号与线性系统利用Fourier变换的Parseval等式，可以得到X(t)在(-ゥ,)上的平均功率为P=limPTT殪镲2¥镲1T=蝌犏limE睚X(t)e-j2pftdtdf犏镲-?腩犏T镲2TT从上式可以看出，下式所定义的关于频率f的函数-9-第4章随机信号与线性系统镲禳2镲1TS(f)=limE睚òX(t)e-j2pftdtX镲2T-TT铪镲反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数S(f)为连续时间随机过X程X(t)的功率谱密度。-10-第4章随机信号与线性系统功率谱密度的性质性质4.1设X(t)是定义于¡上的连续时间随机过程，S(f)是其功率谱密度，则有如下X性质：①功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即P=ò¥S(f)df。-?X②S(f)≥0,也即S(f)是一个非负实函XX数。③实随机信号的功率谱密度是偶函数-11-第4章随机信号与线性系统图4.1实随机信号的功率谱密度是非负偶函数-12-第4章随机信号与线性系统对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理定理4.1(Wiener-Khinchin定理)若X(t)为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数¥R(t)满足òtR(t)dt<?，则有X-?¥S(f)=òR(t)e-j2pftdtXX-?-13-第4章随机信号与线性系统证明由功率谱密度的定义式知1{轾T轾T}S(f)=limE蝌X(t)e-j2pftdtX(t)e-j2pftdtX犏111犏222T2T臌-T臌-T1{T}=limEòX(t)X*(t)e-j2pf(t-t)dtdt121212T2T-T1TT=lim蝌E{X(t)X*(t)}e-j2pf(t-t)dtdt121212T2T-T-T1TT=lim蝌R(t-t)e-j2pf(t-t)dtdtX121212T2T-T-T如图4.2所示，对积分区域作变换-14-第4章随机信号与线性系统t=t-t,t=s，则122-15-第4章随机信号与线性系统1{0T2TT-t}S(f)=lim蝌R(t)e-j2pftdtds+蝌R(t)e-j2pftdtdsXXT2T-2T-T0-T1{02T}=lim蝌R(t)e-j2pft(2T+t)dt+R(t)e-j2pft(2T-t)dtXT2T-2T01镲戽2T|t|鳇=lim睚镲òR(t)e-j2pftç1-÷dt镲Xç÷T2T铪镲-2T桫2T¥=òR(t)e-j2pftdt-?X于是定理得证。-16-第4章随机信号与线性系统对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier变换，因此由Fourier逆变换公式有¥R(t)=òS(f)ej2pftdfXX-?所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为-17-第4章随机信号与线性系统¥R(0)=E{X(t)2}=òS(f)dfXX-?若X(t)为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即R(t)=R(-t)，则XXS(f)=ò¥R(t)cos2pftdtXX-?-18-第4章随机信号与线性系统例4.1试求Poisson随机电报过程的功率谱密度。解由习题2B-73可知，Poisson随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为R(t)=e-2a|t|，其中a是信号平均传输速率。X由Wiener-Khinchin定理知其功率谱密度为0¥S(f)=蝌e2ate-j2pf