2010高三数学高考《数列》专题学案：等比数列.doc

基础过关第3课时等比数列1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴an＝a1qn－1⑵an＝amqn－m3．等比数列的前n项和公式：Sn＝4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝（或b＝）．5．等比数列{an}的几个重要性质：⑴m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝．典型例题例1.已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．解：∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，∴，解得或若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64∴qn＝32q由Sn＝，解得q＝2，于是n＝6若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2∴qn＝由Sn＝解得q＝，n＝6变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝．解：64或1由或∴q2＝或q2＝2，∴a11＝a7q2，∴a11＝64或a11＝1例2.设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴q≠1．∴两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1又∵q>0，∴q>1，a1>0∴{an}是递增数列．∴an＝27＝a1qn－1＝解得a1＝1，q＝3，n＝4变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．解：(1)∵a1＋2a22＝0，∴公比q＝又∵S4－S2＝，将q＝－代入上式得a1＝1，∴an＝a1qn－1＝(－)n－1(n∈N*)(2)an≥(－)n－1≥()4n≤5∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．例3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：设这四个数为a－d，a，a＋d，依题意有：解得：或∴这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（）A.15B.16C.17D.18答案：D。解析：由得，再由。例4.已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．解：(1)a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2∴a1＝0，an＝2(n－1)又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2即q2＝(q－2)2q2，解之得q＝3∴b1＝1，bn＝3n－1(2)Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1)设1×3°＋2×3´＋3×32＋…＋n×3n－131×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n－21＋3＋32＋33＋…＋3n－1－n×3n＝－3n·n∴Sn＝2n·3n－3n＋1变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0)解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．⑵当n＝1时，c1＝3当n≥2时，∵∴故归纳小结1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．2．在等比数列中，若公比q>0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．