高三数学等比数列人教实验B版(文)知识精讲 试题.doc

高三数学等比数列人教实验B版（文）【本讲教育信息】一.教学内容：等比数列二.教学内容：等比数列的定义、通项、前n项和及其应用三.教学重点：等比数列四.课标要求1.通过实例理解等比数列的概念；2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式；3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。五.命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位是高考出题的重点。客观性的试题考查等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用对基本的运算要求比较高解答题大多以数列知识为工具。预测08年高考对本讲的考查为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用像通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等它将能灵活考查考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。【教学过程】一、基本知识回顾1.等比数列定义一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示即：：。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2.等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）由等比数列的通项公式知：若为等比数列则。3.等比中项如果在中间插入一个数使成等比数列那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数都有两个等比中项）。4.等比数列前n项和公式一般地设等比数列的前n项和是当时或；当q=1时（错位相减法）。说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时必要时应讨论的情况。【典型例题】例1.“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“abc三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“abc三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”以上四个命题中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：四个命题中只有最后一个是真命题。选A命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×an+1<an未必成立当首项a1<0时an<0则an>an即an+1>an此时该数列为递增数列；命题3中若a=b=0c∈R此时有但数列abc不是等比数列所以应是必要而不充分条件若将条件改为b=则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过选择题的形式考查了有关等比数列的一些重要结论为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2.命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)则数列{an}是等差数列；命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n则数列{an}既是等差数列又是等比数列；上述三个命题中真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解：由命题1得a1=a+b当n≥2时an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列则=a即=a所以只有当b=－1且a≠0时此数列才是等比数列。由命题2得a1=a+b+c当n≥2时an=Sn－Sn－1=2na+b－a若{an}是等差数列则a2－a1=2a即2a－c=2a所以只有当c=0时数列{an}才是等差数列。由命题3得a1=a－1当n≥2时an=Sn－Sn－1=a－1显然{an}是一个常数列即公差为0的等差数列因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系上述三个命题均涉及到Sn与an的关系它们是an=正确判断数列{an}是等差数列或等比数列都必须用上述关系式尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题选择A。例3.（2000全国理20）（Ⅰ）已知数列｛cn｝其中cn＝2n＋3n且数列｛cn＋1－pcn｝为等比数列求常数p；（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列cn=an+bn证明数列｛cn｝不是等比数列。解：（Ⅰ）解：因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）将cn＝2n＋3n代入上式得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］整理得（2－p）