高一数学同步辅导集合与简易逻辑典型例题解析.doc

第一章集合与简易逻辑典型例题解析例1以下说法中正确的个数有（）①表示同一个集合②与表示同一个集合；③空集是唯一的；④与，则集合。A﹒3个B﹒2个C﹒1个D﹒0个解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。③由且（其中、均为空集）由集合相等定义可知即证明空集唯一性。④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。例2若集合：，，则M，N，P的关系是（）A﹒B﹒C﹒D﹒解对集合对集合对于∴，故选B。例3设全集，，，判断与之间的关系．解：∵∴∵∴∴例4.如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A﹒B﹒C﹒ISD﹒IS解此阴影部分是属于M且属于P，即。但又不属于S集，所以为IS，故选C。例5解不等式．点拨一这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一由代数式，知，－2，1把实数集分为三个区间：，，．当时，原不等式变为，即；当时，原不等式变为，即；当时，原不等式变为，即．综上，知原不等式的解集为．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．点拨二不等式的几何意义是表示数轴上与及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．解法二如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点．或由点A向左移动个单位，即移到点．可以看出，数轴上点向左的点或者向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．所以，原不等式的解集为．点拨三从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得．解法三如右图．．不难看出，要使，只须．所以，原不等式的解集为．点评对于解法一，要孰记或两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．例6解不等式．解法一原不等式等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）解（Ⅰ），得，或．解（Ⅱ），得解集为空集．所以，原不等式的解集为．解法二原不等式等价于（Ⅰ），或（Ⅱ）．解（Ⅰ），得，或．解（Ⅱ），得解集为空集．所以，原不等式的解集为．点评比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：若，则等价于，或．解法三在直角坐标系中分别画出，，．如图，不难看出，要使，只须，或．所以，原不等式的解集为．例7解不等式（为参数）分析这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．解：原不等式可化为若，则，即，原不等式的解集为；若，即或，则原不等式的解集为；若，即或，则原不等式的解集为因此，当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．例8不等式的解是全体实数，求实数的取值范围。分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有且，特别要强调此时。解：若，不等式为，其解集为若，不等式为，其解集显然不是全体实数，故不符合条件。若，不等式为二次不等式，有解得即综上得，说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。例8已知，且，（），求实数P的取值范围。解：由知，关于的二次方程无正根。（1）若方程无实根：，得；（2）若方程有实根，，但无正根；此时由，得或，而由韦达定理由知两根均为正或均为负，由条件显然须，，于是，∴因此由上述的（1），（2）得的取值范围是注：要注意的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于的存在，初学者往往容易忽略。例9解关于的不等式：分析：由于字母系数的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数可正、可负，且对应二次方程的两个根2，的大小也受的影响，这些都应予以考虑。解：当时，原