初三数学例谈“面积问题”在中考数学中的应用专题辅导.doc

用心爱心专心115号编辑例谈“面积问题”在中考数学中的应用许世文近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，“面积问题”题型较多，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，化难为易，巧算面积，下面，本人就以2006、2007年各地中考卷中的试题为例，谈谈“面积问题”的求解方法。一、割补法例1（2007年乐清市中考题）如图1，以BC为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是A.B.C.D.分析：观察图形，可以适当进行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD与弓形BD互换，即把弓形CD“割”下来“补”到弓形BD上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC的面积减去△ADC的面积，故选A。练习1（2007年乐山市中考题）如图2，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于___________。二、变换法有些不规则几何图形的面积，可以通过几何图形的变换——平移、旋转、翻折等，化不规则为规则，求解起来较为方便。（一）平移法例2（2006年东莞市中考题）下面是两位同学关于配有如图3的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。”乙：“那，不过AB可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？分析：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决。解：甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图4，连结OC、OB，则OC⊥AB，CB=12，所以。（二）旋转法例3（2007年恩施自治区中考题）如图5，已知正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为（2，1），分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为__________。分析：根据图中两圆关于点O成中心对称的特征，以点O为旋转中心将其中一圆旋转到另一圆上，两个不规则的阴影部分刚好构成一个圆，很快就得两个阴影部分面积的和为。（三）翻折法例4（2006年浙江省中考题）如图6，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、E、O分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分面积为_________。分析：求图形的面积要注意观察图形的结构，此题的特征是I区域与II区域关于直线OD成轴对称，只要把I区域沿直线OD翻折到II区域，问题就转化为求矩形ACDF的面积。解：因为OC=1，所以OD=OA=，所以。练习2（2007年甘肃省白银市中考题）如图7，△ABC中，∠A=，BC=2cm，分别以点B、C为圆心的两个等圆相外切，求图中两个阴影扇形的面积之和。三、比例法例5（2006年广州市中考题）如图8，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积，分别为和，那么△DOC的面积是________。解析：在三角形中，在高相等的情况下，两个三角形的面积比等于底的比，利用这个等比关系就可以便捷地求出△DOC的面积。解：，，求得。练习3（2006年河北省中考题）探索：在如图9至图11中，△ABC的面积为a。（1）如图9，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为，则=________。（用含a的代数式表示）（2）如图10，延长△ABC的边BC到D，延长边CA到E，使CD=BC，AE=CA，连结DE，若△DEC的面积为，则=________（用含a的代数式表示），并写出理由。（3）在图10的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD、FE，得到△DEF（如图11）。若阴影部分的面积为，则=________（用含a的代数式表示）。四、规律法例6（2007年烟台市中考题）将n个边长都为的正方形按如图12所示的方法摆放，点、、…、分别是正方形的中点，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为A.B.C.D.分析：此题可先研究两个正方形重叠部分的面积，如图12，通过证明可知，△OCN△ODM，故图12中的重叠部分的面积可转化为图13中△OCD的面积，为正方形面积的四分之一，这是从一般到特殊的转化，然后再从特殊到一般，得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，故选C。练习4（2007年福州市中考题）如图14，∠AOB=，过OA上到点O的距离分别为