数列通项公式的求法.doc

例谈数列通项公式的常见求法数列通项公式给出了数列中第n项与项数n之间的函数关系。掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，培养学生对知识的横向联系，促进学生对知识的掌握。一、观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用或来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。①②1，0，1，0③3，33，333，3333④11，103，1005，10007解：①此数列可拆为三部分，第一部分为通项是，第二部分分子部分为，通项是，第三部分分母部分为通项是，再由来调节正负号即可，故；②此数列是由两个基本数列和求得，故；③在此数列中，，，从而可得④此数列是由两个基本数列与对应项求和而得，故通项公式为二、公式法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。①形如，已知；解法为：∵，为常数，由等差数列的通项公式（为数列的公差）得到②形如（为常数且），已知；解法为：∵，∴是以为首项，为公比的等比数列∴例2、求下列数列的通项公式①已知数列中求通项公式。解：∵∴则是以为首项，3为公差的等差数列。∴为所求的通项公式。②已知中且求此数列的通项公式。解：由得∴是以为首项，2为公比的等比数列，故即为所求通项公式。例3、已知数列中，求通项公式。解：∵当时有，∴则是以为首项，1为公差的等差数列。∴∴又，故为所求的通项公式。【练习】已知数列是等差数列，且，公差为5，求【答案】三、前n项和法:若知数列的前n项和，则，；需要注意的是，对于时的情况一定要检验，若当时，也满足的表达式，则两式可合并。例4、已知数列的前项和，则数列的通项公式是。解：①当时，②当时，，故例5、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。解：∵当时有，，∴，∴，则是以为首项，2为公差的等差数列。∴∴∵，∴又，故为所求的通项公式。【练习】1、已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式2、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。3、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。【答案】1、；2、；3、递推公式法：1、若递推公式型，则只须将原递推公式化为，再以迭乘法求解即可。例8、已知数列满足，求解：由得，所以，……由累乘法可得【练习】1、已知：，（）求数列的通项。2、已知是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式【答案】1、；2、；2、若递推公式为型，则只须将原递推公式化为，再以累加法求解即可。例9、已知数列满足，求解：由题得所以有，……由迭加法可得【练习】已知数列满足，，求【答案】；3、若递推公式为（其中、为常数，）型，则需把原递推公式化为，其中，可得数列是以为首项、以为公比的等比数列。例10、已知数列满足，求解：原等式可化为所以有即数列是以2为首项、以3为公比的等比数列故从而【练习】在数列中，若，，则该数列的通项=。【答案】；4、若递推公式为（其中为常数，为关于n的一次函数）型，即时，则引入辅助数列且，，则原递推公式可化为，从而知道是以为首项，为公比的等比数列。例11、已知数列满足，求通项公式解：设，则，所以，即。设解之得，所以且，由于是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：6、若递推公式为（其中、为常数，）型，此类型题需把原递推公式两边同除以得，从而可引入辅助数列且，则原递推公式可化为，从而用累加法进行求解。例12、已知数列满足，求解：在原不等式两边同除以得：不妨引入辅助数列且则由累加法可得故有7、若递推公式为（其中为常数）型。考虑函数倒数关系有，令，则可归为型。例15、数列中，，求的通项。解：∴，设∴，∴∴，，，，∴，∴五、用数列的周期性求通项：例18、已知数列满足，，求数列的通项公式解：∵，∴，从而数列是以3为周期的周期数列。又，，，∴其中【练习】已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．【答案】B；归纳、猜想、证明三步法：例19、已知函数，数列中，，，写出、、的值，并推测数列的通项公式，并证明。解：∵，∴，，猜想，证明用数学归纳法（略）。【练习】已知数列中，已知，，求数列的通项公式【答案】；数列通项公式的求法虽然多种多样，但是在具体求解时，仍要由题设条件确定各种数列求通项公式的方法，灵活应用，才能以不变应万变，获得满意得解题效果。