几类不同增长的函数模型.ppt

3．2.1几类不同增长的函数模型目标要求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．2．理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．3．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．4．培养对数学模型的应用意识.热点提示学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.1．三种函数模型的性质2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)增长速度的对比：(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax.●想一想：当0<a<1，n<0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？提示：如下图所示：对于函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y＝ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n<0)的衰减速度，而y＝logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.答案：C2.右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势？()A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数答案：C3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数，指数函数，幂函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：通过指数函数，对数函数，幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知：对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.答案：C4．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y15．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：问(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．类型一线性函数模型应用题【例1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．本题关键是能根据实际情况，建立一次函数的数学模型，再利用方程或不等式使问题得以解决．1某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一类型餐桌报价每张200元，餐椅报价每把50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的8.5折销售．那么，什么情况下到甲商场