第1讲数列的概念与简单表示法.docx

第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列{an}：1，－eq\f(5,8)，eq\f(7,15)，－eq\f(9,24)，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋1eq\f(2n－1,n2＋n)(n∈N＋)B．an＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,n3＋3n)(n∈N＋)C．an＝(－1)n＋1eq\f(2n－1,n2＋2n)(n∈N＋)D．an＝(－1)n－1eq\f(2n＋1,n2＋2n)(n∈N＋)解析观察数列{an}各项，可写成：eq\f(3,1×3)，－eq\f(5,2×4)，eq\f(7,3×5)，－eq\f(9,4×6)，故选D.答案D2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()．A．27B．28C．29D．30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案B3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝()．A．－16B．16C．31D．32解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．∴eq\f(an,an－1)＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.答案B4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差即a2014－5＝()．A．2020×2012B．2020×2013C．1010×2012D．1010×2013解析结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2014－5＝4＋5＋…＋2016＝2013×1010.故选D.答案D5．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()．A．103B.eq\f(865,8)C.eq\f(825,8)D．108解析根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f(29,2)n))＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋3＋eq\f(841,8)，∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.答案D6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n*eq\f(1,n)*0，则数列{an}为()．A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列解析由题意知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n*\f(1,n)))*0＝0]n·eq\f(1,n)＋(n*0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0]1,n)))＝1＋n＋eq\f(1,n)，显然数列{an}既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋eq\f(1,x)在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{an}为递增数列．答案C二、填空题7．在函数f(x)＝eq\r(x)中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．答案1，eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析由an＝n(an＋1－an)，可得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，则an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n－1)×eq\f(n－1,n－2)×eq\f(n－2,n－3)×…×eq\f(2,1)×1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案2n9．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2013＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．故f(x)周期为4，∴a2013＝f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝eq\f(1,2)