中考数学动点问题专题讲解.doc

中考动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
专题一：建立动点问题的函数解析式
例2.如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式；
A
E
D
C
B
图2
(2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC,∴,
∴,∴.
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,
∴=,整理得.
当时,函数解析式成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证:△ADE∽△AEP.
(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴,,
∴OD=,AD=.∴AE==.
∵△ADE∽△AEP,∴,∴.∴().
(3)当BF=1时，
①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.
∴5-=4,得.可求得,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.
类似①,可得CF=CE.
∴5-=2,得.
可求得,即AP=6.
综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.
(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=4,AH=BC=2.∴OC=4-.
∵,∴().
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.
此时,△AOC的面积=.
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.
此时,△AOC的面积=.
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.
专题二：动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题
（一）点动问题．
1．（09年徐汇区）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．
（1）当时，求的长；
（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，
求的长；
（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长．
[题型背景和区分度测量点]
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题