高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列（二）课件 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学课件.pptx

第一章——1.2.1排列(二)[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求.解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决常用的方法有直接法和间接法直接法又有分步法和分类法两种.(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排再安排一般元素(位置)依次分步解决特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体与其他元素排列后再考虑相邻元素的内部排序这种分步法称为“捆绑法”即“相邻元素捆绑法”.(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时可以先安排其他元素再将这些不相邻元素插入空档这种方法称为“插空法”即“不相邻元素插空法”.②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决即直接分类法.特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”即n个不同元素参加排列其中m个元素的顺序是确定的这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件的种数时可先求与其对应的不符合条件的种数进而求解即“间接法”.[预习导引]1.排列数公式A＝(nm∈N＋m≤n).A＝＝(叫作n的阶乘).另外我们规定0！＝.2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用012345这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？解分三步：①先选百位数字由于0不能作百位数字因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个).(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？解分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.故所求三位数共有5×6×6＝180(个).(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？解分三步：①先选个位数字有3种选法②再选百位数字有4种选法；③选十位数字也有4种选法所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个).(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个).因此比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个).(5)可以组成多少个大于3000小于5421的不重复的四位数？解分四类：①千位数字为34之一时共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5百位数字为0123之一时共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5百位数字为4十位数字为01之一时共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个.故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个).规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时应分类讨论.跟踪演练1用012…9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；解要得到五位奇数末位应从13579五个数字中取有5种取法；取定末位数字后首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取共有A种不同的排列方法.因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13440个没有重复数字的五位奇数.(2)大于30000的五位偶数.解要得偶数末位应从02468中选取而要得比30000大的五位偶数可分两类：②末位数字从468中选取则首位应从3456789中除去末位数字的六个数字中选取其余三个数位仍有A种选法所以共有3×6×A种不同情况.要点二排队问题例23名男生4名女生按照不同的要求排队求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；解无限制条件的排列问题只要从7名同学中任选5名排列即可得共有N＝A＝7×6×5×4×3＝2520(种).(2)全体站成一排其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排其中甲不在最左端乙不在最右端；解方法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：方法二(间接法)方法三(直接分步法)按最左端优先安排分步(5)全体站成一排男、女各站在一起；解相邻问题(捆绑法)(6)全体站成一排男生必须排在一起；解(捆绑法)即把所有男生视为一个元素与4名女生组成5个元素全排(7)全体站成一排男生不能排在一起；