第二轮第 8讲 常用数学方法.doc

第8讲高考中常用数学的方法------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现是解决问题的手段它不仅有明确的内涵而且具有可操作性有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧由于这种配成“完全平方”的恒等变形使问题的结构发生了转化从中可找到已知与未知之间的联系促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换它是用一种变数形式去取代另一种变数形式从而使问题得到简化换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11其12条棱的长度之和为24则这个长方体的一条对角线长为().(A)(B)(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为xyz则依条件得：2(xy+yz+zx)=114(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25∴应选C.例2．设F1和F2为双曲线的两个焦点点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°则ΔF1PF2的面积是().(A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1)而由已知能得到什么呢？由∠F1PF2=90°得(2)又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3)那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方即可找到三个式子之间的关系.即故∴∴选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点准线平行于x轴离心率为已知点P(05)到该双曲线上的点的最近距离是2求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为∵∴a=2b因此所求双曲线方程可写成：(1)故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(xy)则|PQ|=(2)∵点Q(xy)在双曲线上∴(xy)满足(1)式代入(2)得|PQ|=(3)此时|PQ|2表示为变量y的二次函数利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(y≥a或y≤-a).二次曲线的对称轴为y=4而函数的定义域y≥a或y≤-a因此需对a≤4与a>4分类讨论.(1)当a≤4时如图(1)可知函数在y=4处取得最小值∴令得a2=4∴所求双曲线方程为.(2)当a>4时如图(2)可知函数在y=a处取得最小值∴令得a2=49∴所求双曲线方程为.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的其中利用配方法求解二次函数的最值问题由于二次函数的定义域与参数a有关因此需对字母a的取值分类讨论从而得到两个解同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f(x)是一次函数且其在定义域内是增函数又试求f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y=f(x)=ax+b(a>0)可知∴.比较系数可知：解此方程组得b=2∴所求f(x)=.例5．如图已知在矩形ABCD中C(44)点A在曲线(x>0y>0)上移动且ABBC两边始终分别平行于x轴y轴求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.分析及解：设A(xy)如图所示则(4-x)(4-y)(1)此时S表示为变量xy的函数如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9如何利用此条件？是从等式中解出x(或y)再代入(1)式因为表达式有开方显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形会得到S=16-4(x+y)+xy(2)这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系即(x+y)2=9+2xy.因此只需设t=x+y则xy=代入(2)式得S=16-4t+(3)S表示为变量t的二次函数∵0<x<30<y<3∴3<t<∴当t=4时SABCD的最小值为.此时注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的这样才能防止出现不必要的错误.例6．设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1x2若≥3求k的取值范围.解：∵≥3以代入整理得(k2-2)2≥5又∵Δ=4k2-16≥0∴解得k∈(-)∪[+].例7．点P(xy)在椭圆上移动时求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.解：∵点P(xy)在椭圆上移动∴可设于是==令∵∴|t|≤.于是u=(|t|≤).当t=即时u有最大值.∴θ=2kπ+(k∈Z)时.例8．过坐标原点的直线l与椭圆相交于AB两点若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦