(完整word版)量子力学典型例题分析解答.doc

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解]薛定谔方程:当,故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n值,可解一个,为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型:1.算符运算;2.力学量的平均值;3.力学量几率分布.一.有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符,为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取:试证明:也是和共同本征函数,对应本征值分别为:。[证]。是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率,出现的几率能量平均值另一做法3.一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1),归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。4．设氢原子处于状态求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。[解]能量本征值能量本征态当n=2时本征值为的，出现的几率为100％可能值为出现的几率分别为：。5.在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值(1).;(2).[解]：三测不准关系1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系[解]先归一化(1)动量平均值(2)(3)附:常用积分式：（1）（2）（3）第四章例题1．力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和试分别：1）.求和在态下的期望值；2）.给出和的物理意义【解】（1）.设态矢已归一化（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）又：,上式2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符（1）.是厄密算符，（2）.有，（3）.的本征值为0和1【证】（1）.厄密算符的定义为厄密算符(2)已归一化（3）.由的本征值方程,又：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）.在x表象：（2）.动量表象：（3）.能量表象同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,,的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法）【解】,的共同本征函数为在空间（1）.,同样（2）利用:利用正交归一条件:同样（3）利用:矩阵:矩阵:5.已知体系的哈密顿量,试求出（1）.体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】（1）.久期方程解之,设正交归一的本征矢对应于本征矢归一化对应归一本征矢同样::即为的本征函数集（2）.对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为6．证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。【证】算符的本征矢：则F算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢的本征矢7.为厄密算符。①求算符的本征值，②在A表象下求算符的矩阵表示。[解]：①设的本征值为,本征函数为,则又同理算符的本征值也为.②在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即设利用B为厄密算符即又取：第五章例题重点：微扰论1．一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动