八年级数学上册 07面积问题和面积方法竞赛讲座 华东师大版.doc

竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样应在不同场合下选择最佳形式使用．设△分别为角的对边为的高、分别为△外接圆、内切圆的半径．则△的面积有如下公式：（1）；（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于则；（7）共角比例定理：在△和△中若或则．3．张角定理：如图由点出发的三条射线设则三点共线的充要条件是：．例题分析例1．梯形的对角线相交于且求例2．在凸五边形中设求此五边形的面积．例3．是△内一点连结并延长与分别交于△、△、△的面积分别为403035求△的面积．例4．分别是△的边和上的点且求△的面积的最大值．例5．过△内一点引三边的平行线∥∥∥点都在△的边上表示六边形的面积表示的面积．求证：．例6．在直角△中是斜边上的高过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和△和△的面积分别记为和．求证：．例7．锐角三角形中角等分线与三角形的外接圆交于一点点、与此类似直线与、两角的外角平分线将于一点点、与此类似．求证：（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；（2）三角形的面积至少是三角形的四倍．例8．在△中将其周长三等分且在边上求证：．例9．在锐角△的边边上有两点、满足作（是垂足）延长交△的外接圆于点证明四边形与△的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形内接于⊙且求此六边形的面积．例11．已知的三边现在上取在延长线上截取在上截取求证：．例12．在内且∽求征：例13．在的三边上分别取点使连相交得三角形已知三角形的面积为13求三角形的面积．例14．为圆内接四边形的边的中点于于于求证：平分．例15．已知边长为的过其内心任作一直线分别交于点求证：．例16．正△正△．求证：．例17．在正内任取一点设点关于三边的对称点分别为则相交于一点．例18．已知是正六边形的两条对角线点分别内分且使如果三点共线试求的值．例19．设在凸四边形中直线以为直径的圆相切求证：当且仅当∥时直线与以为直径的圆相切．训练题1．设的面积为10分别是边上的点且若求的面积．2．过内一点作三条平行于三边的直线这三条直线将分成六部份其中三部份为三角形其面积为求三角形的面积．3．在的三边上分别取不与端点重合的三点求证：中至少有一个的面积不大于的面积的．4．锐角的顶角的平分线交边于又交三角形的外接圆于过作和边的垂线和垂足是求证：四边形的面积等于的面积．5．在等腰直角三角形的斜边上取一点使作交于求证：．6．三条直线互相平行在的两侧且间的距离为间的距离为1若正的三个顶点分别在上求正的边长．7．已知及其内任一点直线分别交对边于（）证明：在这三个值中至少有一个不大于2并且至少有一个不小于2．8．点和分别在的边和上点和将线段分为三等分直线和分别与边相交于点和证明：．9．已知P是内一点延长分别交对边于其中且求之值．10．过点P作四条射线与直线分别交于和求证：．11．四边形的两对对边的延长线分别交过作直线与对角线的延长线分别求证：．12．为的重心过作直线交于求证：．