高等代数几个重要定理的证明.doc

高等代数几个重要定理的证明摘要代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用AbstractHigheralgebraisthecorecurriculumofuniversitymathematics,anditisanimportantprerequisiteforlearningothercourses.Thispaperisdividedintothreeparts,andthefirstpartmainlyintroducesthesevenimportanttheoremsinadvancedalgebracoursecontent.BecauseofHigherAlgebraputforwardmanynewconceptsandnewdefinition,theorems,suchaspolynomial,thenumberofdomain,linearspacemapping,etc.,whicharemoreabstractcontent.Thereforeoneoftheimportanttheoremofvarioussectionsofthelist,andtofindaproofofthetheoremtodeepenunderstandingandunderstandingofthese.Thesecondpartmainlyintroducestheproblemsandsolutionsinthestudyofhigheralgebra.Thethirdpartfocusesontheapplicationofadvancedalgebrainthepracticalapplicationofthetwomethods,namely,matrixcryptographyandsecurecommunicationsandinformationretrievalmodel.Keywords：Theoremproving;matrix;determinant;applicationofAdvancedalgebra目录TOC\o"1-2"\u前言11定理阐述及证明21.1因式分解及唯一性定理21.2最大公因式存在定理41.3最小数原理51.4替换定理61.5哈密尔顿-凯莱定理81.6带余除法101.7行列式计算定理121.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵132高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用132.1因式分解及唯一性定理142.2最大公因式存在定理142.3最小数定理142.4替换定理142.5哈密尔顿-凯莱定理152.6带余除法152.7行列式计算定理152.8对称矩阵合同于对角矩阵153高等代数的学习15结束语17参考文献18引言高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.1定理阐述及证明1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.先，同设此论对于数的多项式已成立.如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.由归纳法原理，可知结论普遍成立.下证它的一性.设可以解成约项式的积.如果还有另一个分解，其中都可约多项式，于是.（1）我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且现