初三数学圆中比例线段知识精讲.doc

用心爱心专心115号编辑初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形得出成比例线段。【知识掌握】【知识点精析】1.在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等。2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角。3.过切点的半径垂直于切线。4.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似。【解题方法指导】例1.已知：如图AB是圆O直径C是圆O上一点CD⊥AB于D。求证：（1）；（2）；（3）。分析：由AB是圆O直径可知∠ACB＝90°；又CD⊥AB于是得到一个“双垂直图形”可得到三对相似三角形。欲证可改写为通过△ABC∽△ACD加以解决。用同样的方法解决。证明：（1）∵AB是圆O直径∴∠ACB＝90°又CD⊥AB∴∠ADC＝90°∴∠ACB＝∠ADC∵∠CAD＝∠CAB∴△ABC∽△ACD即（2）∵AB是圆O直径∴∠ACB＝90°又CD⊥AB∴∠CDB＝90°∴∠ACB＝∠CDB又∠CBD＝∠CBA∴△ABC∽△CBD即（3）∵AB是圆O直径∴∠ACB＝90°∵CD⊥AB∴∠ADC＝∠CDB＝90°∠ACD＝∠CBD∴△ACD∽△CBD即评析：当题目中给出等积式时通常的办法先改写成比例式再找出它们所在的两个三角形通过证它们相似加以解决。例2.已知：如图AB是圆O的直径BC是圆O的切线D是圆O上的一点且AD//CO。求证：分析：欲证可设法证明它们所在的两个三角形相似但AO却不是三角形的一条边。观察图形发现AO＝OB于是可改证只要证△ADB∽△OBC即可。这是两个直角三角形∠A＝∠COB于是可用相似三角形的判定加以证明。证明：∵AB是圆O直径∴∠ADB＝90°∵BC是圆O的切线OB是圆O的半径∴OB⊥BC∴∠ADB＝∠OBC又AD//OC∴∠A＝∠COB∴△ABD∽△OCB又∵OB＝AO即评析：当题目中给出圆的直径或切线时可以得到直角从而为证明两个三角形相似准备了一个条件。此题由于OA＝OB因此又使用了一次等量代换利用“等线段代换”是一种常用的证明方法。例3.（2003年杭州）如图点C为圆O的弦AB上一点点P为圆O上一点且OC⊥CP则有（）A.B.C.D.分析：此题由于图形所处的位置比较特殊要用“排除法”比较困难我们探索是否可用“直接法”去证。由OC⊥PC延长PC交圆O于D则PC＝CD连结PA、BD试证△PAC∽△BDC。证明：延长PC交圆O于D连结AP、BD。∴∠ACP＝∠BCD又∠A＝∠D∴△ACP∽△DCB即PC·CD＝CA·CB又PD是圆O的直径OC⊥PD∴PC＝CD∴PC·PC＝CA·CB即故选D。评析：由OC⊥PC设法将PC延长成一条弦从而利用“垂径分弦”定理得到PC＝CD于是可改证PC·CD＝CA·CB。【考点突破】【考点指要】证明线段成比例的题目很多但证明圆中线段成比例的题目由于有些定理没有讲到（如弦切角等于两边所夹弧上的圆周角等）因此题目大受限制在一些省市的教材中加上以上定理因此增加了一些题目而没有学到该定理的同学对本讲中涉及弦切角的题目可以不做。【典型例题分析】例1.（2001年山西）已知：如图AD是△ABC外角∠EAC的平分线交BC延长线于点D延长DA交△ABC的外接圆于点F连结FB、FC。（1）求证：FB＝FC；（2）求证：。（3）略。分析：（1）欲证FB＝FC只要证∠FBC＝∠FCB即可由于∠FCB＝∠FAB＝∠EAD＝∠CAD＝∠FBC可证。（2）欲证只要证即可只要证△FBD∽△FAB即可由于∠BFA＝∠BFD∠FAB＝∠FBD可证△FBA∽△FDB至此思路已通。证明：（1）∵F、B、C、A是圆上四点∴∠FCB＝∠BAF（同弧上圆周角相等）又∠BAF＝∠DAE（对顶角相等）∠DAE＝∠CAD（角平分线定义）∠CAD＝∠FBC（圆内接四边形外角等于它的内对角）∴∠FCB＝∠FBC（等量代换）∴FB＝FC（等角对等边）（2）在△FBA和△FDB中∵∠FAB＝∠EAD（对顶角相等）∠EAD＝∠DAC（角平分线定义）∠DAC＝∠FBD（圆内接四边形外角等于它的内对角）∴∠FAB＝∠FBD又∠BFA＝∠BFD（公共角）评析：在解此题的过程中用到了圆内接四边形的外角等于它的内对角。如果没有讲这个定理可以按以下方法进行推导。如图∠D对的弧是弧CBA∠ABC对的弧是弧ADC因为弧CBA＋弧ADC＝360°∠D的度数等于弧CBA的度数∠ABC的度数等于弧ADC的度数∴∠